Главная > Физика > Курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Теорема об изменении момента количества движения системы относительно осей Кёнига.

Теорема. Если связи, наложенные на систему материальных точек, допускают поворот всей системы как одного твердого тела вокруг неподвижной оси , кроме того, допускают поступательное движение системы вдоль неподвижных осей х и у, то производная по времени от момента количества движения системы по отношению к оси z равна сумме моментов сил относительно этой оси.

Доказательство. Условия теоремы позволяют применить теорему об изменении момента количества движения системы относительно неподвижной оси z и теорему о движении центра

масс системы вдоль осей х и у, откуда получим три уравнения движения:

По формуле Кёнига имеем

Подставляя это значение в уравнение представим его в виде

или, производя сокращения, в силу уравнений (а) и получим

что и доказывает теорему.

Следствие. Если связи, наложенные на систему материальных точек, допускают поворот всей системы вокруг трех взаимно ортогональных неподвижных осей , кроме того, допускают поступательные перемещения всей системы вдоль осей то теорема об изменении момента количества движения в относительном движении будет иметь место для всех трех осей, т. е.

Вводя в рассмотрение вектор момента относительного количества движения , этот результат можно записать в векторной форме

так что скорость конца вектора момента относительного количества движения будет равна сумме моментов всех активных сил относительно центра масс системы.

Пример 94. Рассмотрим момент количества движения Земли относительно осей Кёнига, пренебрегая воздействием внешних сил.

В качестве осей Кёнига выберем систему осей с началом в центре масс Земли и ориентированную по звездам. Применяя теорему об изменении момента количества движения, будем иметь

откуда видно, что момент количества движения Земли относительно осей Кёнига остается постоянным по величине и по направлению.

Пример 95. Стоя на абсолютно гладкой площадке, человек может сообщать себе вращение вокруг вертикальной оси, размахивая рукой так, чтобы последняя совершала конусообразные вращения вокруг вертикали. В этом случае в системе осей Кёнига момент количества движения будет оставаться постоянным.

Пример 96. Рассмотрим движение тяжелого волчка, находящегося на абсолютно гладкой опоре.

Связи допускают поступательное перемещение волчка в любом горизонтальном направлении. Проекции внешних активных сил на любое горизонтальное направление равны нулю. При этих условиях из теоремы о движении центра масс следует, что центр маос в горизонтальном направлении будет двигаться равномерно и прямолинейно. Не нарушая общности, можно всегда предполагать, что горизонтальная скорость центра масс равна нулю. Освободим систему от связи, введя реакцию (рис. 198). Тогда из теоремы об изменении момента количества движения системы относительно осей Кёнига получим

откуда следует, что волчок совершает движение, при котором вектор момента количества движения изменяется в направлении вектора момента силы относительно точки и будет вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр тяжести.

Рис. 198

Рис. 199

Рис. 200

Такое движение называется прецессионным.

Пример 97 Рассмотрим движение волчка по шероховатой плоскости (при наличии трения), предполагая, что ось волчка заканчивается маленьким полушаром, а угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси достаточно велика.

Пусть вектор мгновенной угловой скорости вращения волчка направлен по оси симметрии волчка. Вектор момента количества движения К относительно центра масс волчка определяется распределением скоростей и масс точек системы. В случае симметричного волчка вектор К оказывается направленным по оси симметрии волчка. Точка контакта расположенная на иожке волчка, проскальзывает по плоскости. Этому проскальзыванию препятствует сила трения, направленная в сторону, противоположную скорости точки 5 (рис. 199). На основании теоремы об изменении момента количества движения, момент силы трения относительно центра тяжести поднимает ось волчка. Этот факт хорошо всем известен из наблюдений. Как бы ни был запущен волчок, при достаточно большой скорости вращения его ось стремится принять вертикальное положение.

Иначе обстоит дело с так называемым «китайским волчком», центр тяжести которого находится близко от точки прикосновения (рис. 200). Здееь вектор момента силы трения относительно центра тяжести направлен вииз, а ось волчка опускается. Наблюдения показывают, что ось волчка опускается до тех нор, пока сам волчок не станет на ножку.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление