Главная > Физика > Курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Канонические преобразования.

При изучении движения механической системы, на которую наложены голономные идеальные связи, можно пользоваться уравнениями Лагранжа второго рода. При этом удачный выбор параметров, определяющих положение системы, может значительно облегчить задачу исследования движения. Так, наличие циклических координат дает возможность сразу найти первые интегралы уравнений движения. Циклические координаты иногда могут быть найдены преобразованием первоначальной системы координат.

Аналогичная ситуация возникает и при изучении движения системы с помощью канонических уравнений Гамильтона. Возникает задача — найти такое преобразование фазового пространства, после которого канонические уравнения, в новых переменных, можно было бы сравнительно просто проинтегрировать.

Пусть состояние движения механической системы, на которую наложены голономные идеальные связи, определяется координатами Лагранжа и обобщенными импульсами

Рассмотрим преобразование к новой системе переменных определяющих состояние движения той же механической системы. Преобразование называют каноническим, или контактным, если после преобразования любые канонические уравнения Гамильтона переходят в канонические уравнения для новых переменных.

Пусть старые и новые переменные связаны соотношением

где функция удовлетворяет условию

Такую функцию будем называть производящей функцией преобразования. Подставляя вариацию функции будем иметь

Последнее равенство должно удовлетворяться в каждый момент времени для любых вариаций переменных. Это условие выполняется, если в равенстве обращаются в нуль коэффициенты при одинаковых вариациях переменных, т. е.

Полученные соотношения представляют собой формулы преобразования переменных к переменным Так как производящая функция зависит от переменных то формулы преобразования можно записать в виде

а поскольку определитель матрицы - отличен от нуля, эти формулы могут быть разрешены либо относительно новых переменных

либо относительно старых переменных

Для осуществления рассмотренного преобразования достаточно задать производящую функцию преобразования. Если, например,

то преобразование примет вид

Нетрудно видеть, что любые два последовательных преобразования (а) можно заменить одним. Для любого преобразования вида (а) всегда имеется обратное ему преобразование. Множеству преобразований (а) присуще свойство ассоциативности. На основании всего этого можно утверждать, что преобразования (а) образуют группу. Нейтральным элементом группы является тождественное преобразование.

Покажем, что преобразование (а) есть каноническое преобразование. Для этого нам нужно убедиться, что новые переменные удовлетворяют дифференциальным уравнениям, имеющим вид канонических уравнений Гамильтона.

Для получения уравнений движения в новых переменных воспользуемся припципом Гамильтона в форме Пуанкаре

Преобразуя подынтегральное выражение к новым переменным, заметим, что

поэтому

или

Принцип Гамильтона теперь запишется в вцде

где

Из формул преобразования видно, что вариации новых переменных линейно выражаются через вариации старых Последние обращаются в нуль на концах интервала при Следовательно, и вариации должны обращаться в нуль на концах интервала и остаются произвольными внутри интервала. Исходя из этих соображений, получим, что на концах интервала обращается в нуль вариация функции т. е.

Введем новую функцию Н

и представим принцип Гамильтона в виде

В новых переменных этот принцип имеет такую же структуру, как и в старых. Роль функции Гамильтона в новых переменных играет функция Н. В силу независимости вариаций переменных Q и внутри интервала и равенства их нулю на концах интервала, подобно тому, как это делалось в старых переменных, получим уравнения движения в новых переменных:

Уравнения в новых переменных имеют гамильтонову форму. Следовательно, преобразование, осуществляемое при помощи производящей функции - каноническое.

Уравнения принимают наиболее простой вид в том случае, когда функция Н тождественно равна нулю, т. е.

Тогда канонические уравнения в новых переменных примут вид

Отсюда сразу получим систему первых интегралов:

Производящая функция такого преобразования зависит от всех переменных по стоянных Определитель матрицы, составленной из вторых производных от этой функции

существует и отличен от нуля. Кроме того, эта функция удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби

Функция удовлетворяющая этим условиям, является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби, а уравнения преобразования имеют вид

Последнюю группу этих уравнений можно разрешить относительно переменных Она определяет закон движения механической системы.

В качестве примера рассмотрим прямолинейное движение материальной точки массы под действием силы тяжести. Будем иметь

уравнения движения получат вид

Уравнение Гамильтона—Якоби

допускает полный интеграл

Если вместо ввести новую переменную Q и рассмотреть производящую функцию

то в новых переменных во все время движения будут выполняться условия

где

или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление