Главная > Физика > Курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Метод Имшенецкого разделения переменных.

Общего метода нахождения полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби не существует. При некоторых условиях оказывается возможным сравнительно просто найти полный интеграл, причем нахождение его сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной зависимой переменной каждое. Последние полностью интегрируются. Такого рода задачи называются задачами с разделяющимися переменными. Метод решения уравнений в частных производных с разделяющимися переменными был предложен русским математиком и механиком В. Г. Имшенецким (1832—1892). Этот метод обобщает известные теоремы Лиувилля и Штеккеля.

Метод Имшенецкого применим к уравнениям Гамильтона — Якоби, в которых может быть выделена одна из переменных, например после чего уравнение может быть записано в виде

Тогда полный интеграл можно представить в виде

где является решением обыкновенного дифференциального уравнения

— полный интеграл уравнения в частных производных

Такая функция V удовлетворяет уравнению Якоби и зависит от всех переменных и произвольных постоянных — полный интеграл уравнения в частных производных, поэтому определитель Гесса для функции существует и отличен от нуля, т. е.

Определитель Гесса для функции V теперь принимает вид

Он отличен от нуля, так как интеграл уравнения а это означает, что функция V действительно является полным интегралом исходного уравнения Гамильтона—Якоби

Частные случаи: 1. Координата является циклической, так что Так , а полный интеграл имеет вид

где функция — полный интеграл уравнения в частных производных

2. Функция Гамильтона Я не зависит явно от времени:

Тогда полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби запишется в виде

где функция — полный интеграл уравнения в частных производных

Пример 124. При помощи метода Гамильтона — Якобн рассмотрим движение планеты в центральном ньютоновском поле притяжения (см. рис. 251).

Выбирая за лагранжевы координаты сферические координаты для живой силы будем иметь

Силовая функция ньютоновского поля тяготения Выражая обобщенные импульсы через обобщенные скорости

и полагая получим для функции Гамильтона значение

Для определения закона движения планеты необходимо найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби

Здесь время не входит явно в функцию Гамильтона, а координата — циклическая. Поэтому полный интеграл можно искать в виде

где — постоянные; — полный интеграл уравнения в частных производных

Выделяя отсюда группу членов с переменной

полный интеграл запишем в виде

где — решения дифференциальных уравнений

Из последних уравнений находим

Полный интеграл исходного уравнения Гамильтона — Якоби получает вид

и зависит от переменных произвольных постоянных и аддитивной постоянной На основании теоремы Якоби общий интеграл канонических уравнений движения получим из уравнений

Вторую группу этих уравнений можно представить в виде

Первое из этих уравнений определяет как функцию времени и произвольных постоянных

Третье уравнение после подстановки дает

и, наконец, из второго имеем

Эти три уравнения полностью определяют закон движения планеты в переменных

Замечание. Определенная здесь функция V является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби, если функциональный определитель существует и отличен от нуля. Для рассматриваемой задачи этот определитель имеет вид

Подставляя сюда значение производных, получим значение определителя

Этот определитель не существует, если обращается в нуль хотя бы одно из подкоренных выражений знаменателя. Определитель обращается в нуль, если а также когда становятся нулями При этих условиях функция V перестает быть полным интегралом рассматриваемой задачи и уже не определяет первых интегралов канонических уравнений Гамильтона.

Оставшаяся группа уравнений дает систему первых интегралов уравнений движения системы:

первый из которых представляет собой закон сохранения момента количества движения относительно оси

Второй из этих первых интегралов дает закон изменения момента количества движения в подвижной плоскости, вращающейся вокруг оси z, Его можно записать в виде

или

Последний интеграл является интегралом живых сил. В самом деле,

можно переписать в виде

откуда

Подставляя сюда значение получим

чем и доказывается утверждение.

Пример 125. Теорема Лиувилля. Лиувилль показал, что уравнения движения механической системы с голоиомными идеальными связями интегрируются в квадратурах, если живая сила и силовая функция имеют вид

Доказательство. Для определения импульсов имеем уравнения

Определяя отсюда найдем выражение для функции Гамильтона:

Уравнение Гамильтона — Якобн теперь запишется в виде

Так как время не входит явно в функцию Гамильтона, то полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно искать в виде

Здесь функция представляет собой полный интеграл уравнения в частных производных

которое можно переписать в виде

В последнем уравнении переменные полностью разделены, поэтому его можно переписать так:

где

Полный интеграл этого уравнения имеет вид

где — решение дифференциального уравнения

так, что

Полный интеграл исходного уравнения Гамильтона—Якоби запишется следующим образом:

где постоянные подчинены условию

Полагая получим систему первых интегралов уравнений движения:

Пример 126. При помощи метода Гамильтона — Якоби рассмотрим общее решение задачи о движении тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа — Пуассона (рис. 254).

Выбирая за подвижные оси координат оси, неизменно связанные с твердым телом и направленные по главным осям эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки твердого тела, живую силу твердого тела запишем в виде

а силовую функцию — в виде

Для проекций мгновенной угловой скорости на оси, неизменно связанные с твердые телом, имеем

откуда

после чего живая сила твердого тела получит вид

Рис. 254

Принимая углы Эйлера в качестве обобщенных координат, вычислим значения импульсов:

Так как связи не зависят явно от времени, функция Гамильтона будет иметь вид

или

Для решения задачи о движении достаточно найти полный интеграл уравнения Г амильтона—Якоби

Здесь время не входит явно в функцию Г амильтона, а координаты являются циклическими, поэтому полный нитеграл можно искать в виде

где фунция — решение дифференциального уравнения, которое получим подстановкой в исходное уравнение Гамильтона — Якоби вместо V его выражения

или

откуда

Для полного интеграла теперь имеем выражение

Закон движения твердого тела определится системой первых ннтегралов:

которые сводят задачу к эллиптическим квадратурам Исследование таких квадратур было подробно проведено выше.

Пример 127. Рассмотрим в качестве примера движение частицы массы с электрическим зарядом в электромагнитном поле, считая вектор напряженностью электрического поля, а вектор напряженностью магнитного поля.

Пусть V — скорость частицы. Электрическое поле действует на частицу с силон F, компоненты которой

Сила с которой магнитное поле действует на частицу, определяется по формуле Лоренца

где с — скорость света. Для проекций результирующей силы получим выражения

Заметим, что по своей структуре электромагнитная сила, действующая на движущуюся частицу, напоминает силу Кориолиса.

Уравнения движения частицы можно привести к форме уравнений Лагранжа, если в качестве функции Лагранжа рассмотреть функцию

где а члены зависят лишь от координат и времени. Тогда уравнения Лагранжа в переменных примут вид

где

так что

или

Если ввести в рассмотрение вектор

проекции которого определяются матрицей

так что

то уравнение получит вид

Если еще принять условие, что

то будем иметь

Чтобы уравнения Лагранжа описывали движение такой частицы, достаточно записать функцию Лагранжа в виде

где

и

Уравнения движения можно записать в каноническом виде. Преобразования Гамильтона здесь принимают вид

или

А для функции Гамильтона получим выражение

или

Канонические уравнения Гамильтона получают вид

Соответствующее уравнение Гамильтона — Якоби запишется в виде

и задача сводится к отысканию полного интеграла уравнения в частных производных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление