Главная > Физика > Курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. ИНВАРИАНТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ВЕКТОР. МИР МИНКОВСКОГО

Задача теории относительности сводится к нахождению абсолютных, не зависящих от выбора инерциальной системы отсчета, законов природы. Эта задача связана с нахождением величин, инвариантных относительно преобразований Лоренца. Первой из таких инвариантных величин является скорость распространения света с, общая для всех инерциальных систем координат.

Второй инвариантной величиной является «интервал». Интервалом в теории относительности называется величина

Инвариантность интервала относительно преобразований Лоренца проверяется непосредственным вычислением. При этом, если

то

Утверждение, что два события разделены интервалом имеет абсолютный характер. Из определения интервала непосредственно следует

Величина может рассматриваться как элементарный интервал четырехмерного пространства, отнесенный к системе параллельных ортонормированных осей. Пространство это является несобственным, так как длина не обязательно будет положительно определенной.

Преобразования Лоренца указывают на равноправность всех четырех координат х, Этим воспользовался немецкий математик Герман Минковский (1864—1909), который, введя четырехмерное пространство, упростил многие проблемы и сделал релятивистские законы более ясными.

Отложим на ортогональных осях четырехмерного пространства три пространственные координаты и время (мир Минковского). Событие в этом пространстве будет изображаться точкой, называемой мировой точкой. Всякой частице соответствует мировая линия, точки которой определяют координаты частицы во все моменты времени. В силу инвариантности интервала качественное различие связи между событиями не будет зависеть от выбора системы отсчета.

Чтобы упростить дальнейшие рассуждения, будем рассматривать «плоский мир» положив скорость распространения света с равной единице. Движение точки в этом мире будет представляться кривой касательная к которой образует с осью времени угол

Поэтому всегда будем иметь Прямая, для которой соответствует траектории световых лучей (рис. 272).

Рис. 272

Наблюдатель, движущийся вдоль оси х со скоростью будет описывать прямую линию в плоскости неподвижного наблюдателя, которая образует с осью х угол а

Этот угол а определяет скорость движения подвижного наблюдателя. Это же следует и непосредственно из формул Лоренца:

Из формулы

получим уравнение кривой, соответствующей единице длины

Это будет гипербола, проходящая через точку А. Сопряженная ей гипербола отличается знаком правой части. Переход от системы к системе соответствует переходу от прямоугольных координат к косоугольным на плоскости Минковского. Это же следует и из преобразования Лоренца, которое можно представить в виде

После такого преобразования уравнение гиперболы принимает вид

или

Подставляя значение будем иметь

В системе все события на оси х одновременны, в системе же эти же события уже не одновременны. Так, например, три одновременных события А, В, С в системе (рис. 273) будут чередоваться в последовательности С, В, А в системе .

Рис. 273

Рис. 274

Часы, неподвижные в системе изображаются точкой, описывающей прямую Единице времени в системе соответствует точка А. За это время стрелка часов подвижного наблюдателя еще не пройдет через единицу (с точки зрения неподвижного наблюдателя) и будет находиться в положении В (рис. 274). С точки зрения подвижного наблюдателя за единицу времени он окажется в положении а часы неподвижного наблюдателя в этот момент покажут время, меньшее единицы (чему соответствует точка Таким образом, движущиеся часы всегда идут медленнее.

Взаимное сокращение длин и увеличение промежутков времени связано с отказом от возможности определить абсолютную одновременность.

Изменение собственной системы отсчета.

Формулы Лоренца позволяют перейти от собственной системы отсчета к любой другой инерциальной системе. Собственной мы называем ту инерциальную систему, с которой неизменно связано движущееся тело. Посмотрим теперь, как будут изменяться длины и время при переходе от одной инерциальной системы к другой.

Предположим, что в системе находится стержень длины Пусть этот стержень за короткое время получает ускорение, благодаря чему его скорость относительно системы становится равной V. Новая собственная система снова будет инерциальной. Длина стержня в этой новой системе равна . В системе же его длина Но длина может отличаться от Если теперь стержень получает замедление и останавливается в системе то его длина станет равной которая может отличаться и от так как стержень два раза испытывал ускорение.

Аналогичные результаты получаются и с часами. Оказывается, что результаты такого мысленного эксперимента необратимы.

Точки, движущиеся неравномерно и не прямолинейно, в пространстве Минковского изобразятся кривыми линиями. В каждой точке такие движения определяются касательной к мировой линии.

Введем понятие четырехмерного радиус-вектора , проекции которого на оси координат равны Четырехмерным вектором будем называть вектор, проекции которого при преобразованиях Лоренца преобразуются по одному и тому же закону, так что компоненты вектора должны изменяться, как и компоненты вектора

Ограничиваясь, для простоты, движением только в плоскости будем иметь

Компоненты называются пространственными, а компоненту называют временной. При преобразовании остается неиз менным «квадрат» вектора

В общем случае квадрат вектора не является положительным.

В дальнейшем нас будут интересовать четырехмерный вектор скорости и четырехмерный вектор ускорения. Первый образуется в виде производной по инварианту скаляру от четырехмерного радиуса-вектора. Выбор инварианта-скаляра определяется тем, что при малых скоростях пространственные компоненты четырехмерного вектора скорости должны превращаться в компоненты обычной скорости.

В связи со сказанным выше определим четырехмерный вектор скорости соотношением

где элемент собственного времени. Для компонент четырехмерного вектора скорости будем иметь

При с получим отсюда совпадение пространственных компонент скорости с компонентами трехмерной скорости. Заметим, что компоненты четырехмерного вектора скорости ненезависимы, так как

и величина вектора является заданной постоянной.

Четырехмерное ускорение.

Определим четырехмерный вектор ускорения как вектор, проекции которого определяются равенствами

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление