Главная > Физика > Курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

1. Определения.

Будем рассматривать систему материальных точек , на которые действуют некоторые заданные активные силы , предполагая, что на точки системы наложены связи, не изменяющиеся со временем и ограничивающие перемещения точек системы.

Рис. 121

Рис. 122

Множество всех бесконечно малых перемещений точек, допускаемых наложенными на систему связями, называется возможными перемещениями системы.

Возможные перемещения могут быть как освобождающими, при которых некоторые из точек системы покидают наложенные на систему связи (освобождаются), так и неосвобождающими, при которых наложенные на систему связи сохраняются и после перемещения системы. Так, например, материальная точка М, подвешенная при помощи нерастяжимой гибкой нити к неподвижной точке 0 (рис. 121), может находиться в равновесии под действием некоторых сил, если расстояние точки от центра не превышает длины нити. Условие связи здесь может быть записано в виде неравенства (соединенного с равенством)

Тяжелый материальный шарик, находящийся на горизонтальном столе, может перемещаться по его поверхности или вверх, покидая стол. Выбирая систему координат так, чтобы оси х и у были расположены в горизонтальной плоскости стола, а ось z была бы направлена вертикально вверх, условие связи запишем в виде

Если в рассматриваемом положении равновесия та или иная связь не действует на материальную точку и не стесняет ее перемещений, то говорят, что такая связь находится в ненатянутом положении.

Так, например, рассматривая равновесие тяжелого шарика, находящегося внутри цилиндрической трубы с горизонтальной осью, и предполагая, что, кроме того, перемещения шарика стеснены наклонной плоскостью (рис. 122), условия связи можно представить в виде

Вторая связь в положении равновесия не ограничивает возможные перемещения шарика и находится в ненатянутом состоянии.

Если наложить на шарик связи вида

(рис. 122), то в положении равновесия будут натянуты обе связи.

Ненатянутые связи не ограничивают возможные перемещения точек системы. Натянутые односторонние связи ограничивают возможные перемещения точек в одну сторону. Условия, накладываемые связями на возможные перемещения, получаются дифференцированием уравнений связи. Так, для рассмотренного выше случая (рис. 121) точки, подвешенной на нити, имеем условие связи в виде

Здесь знак равенства имеет место лишь для перемещений по поверхности сферы радиуса Знак неравенства отвечает здесь перемещениям, ослабляющим натяжение нити. В случае натянутой нити на точку в положении равновесия будет действовать сила реакции со стороны нити — реакция натяжения. Она направлена в сторону освобождающих перемещений ортогонально к поверхности связи. Рассматривая в этом случае работу силы реакции на произвольном возможном перемещении, будем иметь

Работа будет равна нулю для всех возможных перемещений, при которых нить остается в натянутом состоянии (неосвобождающее

перемещение), и будет положительной для перемещений, при которых нить ослабевает, т. е. связь переходит в ненатянутое состояние.

Обозначим через вектор бесконечно малого перемещения точки возможного при наложенных на систему связях. Проекции этого вектора на оси координат обозначим через и будем называть их вариациями координат. Заменив наложенные на точку связи силой реакции действие которой эквивалентно действию связей, можно рассматривать систему, как освобожденную от связей, но находящуюся под действием активных сил и сил реакции Из всех связей, которые вообще могут быть наложены на систему материальных точек, будем рассматривать лишь такие, сумма работ реакций которых на любом возможном перемещении системы неотрицательна и, следовательно, удовлетворяет условию

Рис. 123

Связи, удовлетворяющие этому условию, будем называть идеальными. Знак равенства здесь соответствует неосвобождающим перемещениям. Освобождающим возможным перемещениям соответствует знак неравенства, если только соответствующие силы реакции отличны от нуля.

Примером идеальных связей являются гладкие связи, не препятствующие перемещениям материальных точек вдоль поверхностей связи. Силы реакции таких связей всегда ортогональны к неосвобождающим перемещениям точек системы и направлены в сторону освобождающих возможных перемещений, поэтому условие идеальности оказывается выполненным.

Идеальными могут оказаться и негладкие связи. Покажем это на примере.

Пример 43. Исследовать состояние равновесия тяжелого колеса, находящегося на шероховатом горизонтальном рельсе

Решение. Предположим, что на колесо действуют две горизонтальные силы как это указано на рис. 123. Тогда уравнения равновесия получат вид

откуда сразу следует, что колесо будет находиться в равновесии, если выполняется условие

но тогда горизонтальная составляющая силы реакции в точке касания будет равна

Таким образом, равновесие оказывается возможным лишь при шероховатых негладких связях. Связь эта является идеальной, так как работа силы реакции на возможном перемещении (вращении вокруг мгновенного центра скоростей) равна нулю.

Предполагая, что на систему материальных точек действуют активные силы и наложены односторонние связи вида

заметим, что если в положении равновесия связь удовлетворяется в виде неравенства, то она будет удовлетворяться в виде неравенства и в некоторой достаточно малой окрестности положения равновесия. Такие связи являются несущественными в данном положении равновесия, поэтому могут быть исключены из рассмотрения. В дальнейшем будем рассматривать лишь такие связи, которые в данном положении равновесия натянуты и, следовательно, записываются в виде равенств (знак неравенства тогда отвечает другим положениям системы, отличным от данного положения равновесия).

Предположим, что связи, наложенные на материальные точки системы, задаются независимой системой функций, так что в матрице Якоби

составленной из частных производных по всем координатам, оказывается отличным от нуля хотя бы один из миноров т-ного порядка. Тогда при натянутых связях положение системы определяется независимыми параметрами.

При возможных перемещениях система может освобождаться от некоторых из связей, поэтому вариации координат при различных возможных перемещениях системы будут удовлетворять условиям

где знак равенства имеет место лишь для неосвобождающих возможных перемещений, а знак неравенства — для освобождающих. В силу независимости функций среди всех неосвобождающих перемещений будет только независимых, а остальные будут выражаться через независимые. Наложенные на систему материальных точек связи могут быть заменены силами реакций действие которых эквивалентно действию связей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление