Главная > Физика > Курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ СТАТИКИ

1. Связи и возможные перемещения.

Рассмотрим систему материальных точек положение которых определяется их

декартовыми координатами Если на точки системы не наложено никаких связей, то их координаты могут принимать произвольные значения. Может оказаться, что координаты точек системы подчинены некоторым ограничениям, которые называются связями. Эти связи могут быть представлены в виде равенств или неравенств, ограничивающих область допустимых значений координат точек системы. Если связи представляются в виде равенств

то число их не должно превосходить величины где число точек системы. В противном случае при уравнения связей будут однозначно определять координаты всех точек системы, и система не сможет перемещаться из положения, определенного связями. Так, например, для точки, вынужденной оставаться на окружности, уравнения связи могут быть представлены в виде

Если связи представляются в виде равенств, то координаты точек системы всегда должны удовлетворять этим равенствам. Такие связи называются удерживающими, или двусторонними.

Связи записываются в виде неравенств (соединенных с равенствами) вида

когда точки системы в рассматриваемом положении подчинены условиям, определяемым равенствами, а возможные перемещения таковы, что точки системы могут освобождаться от связей. Такие связи могут ограничивать возможные перемещения системы. Так, например, координаты материальной точки, находящейся внутри материальной сферы, будут подчинены условию

Если связь, накладываемая на некоторую точку системы, осуществляется в виде строгого неравенства, то она будет осуществляться в виде неравенства и в некоторой достаточно малой окрестности этого положения, поэтому она не будет оказывать никаких ограничений на перемещения рассматриваемой точки. Такая связь оказывается несущественной в рассматриваемом положении и при анализе данного положения равновесия может быть отброшена из рассмотрения. Все проведенные рассуждения могут быть распространены и на более общий случай.

Связи, которые записываются в виде неравенств (соединенных с равенствами) в дальнейшем будем называть неудерживающими, или освобождающими связями (односторонними).

Пусть на систему материальных точек наложены удерживающие связи

где число точек системы. Будем предполагать, что матрица Якоби, составленная из частных производных от функций по всем переменным

имеет ранг m, т. e. хотя бы один из миноров порядка этой матрицы отличен от нуля. При выполнении этих условий все функции будут независимыми и ни одна из них не является функцией остальных. Наряду с данным рассмотрим соседнее, бесконечно близкое положение системы, допускаемое наложенными связями. Тогда координаты точек этого нового положения

будут также удовлетворять уравнениям связи так что

Предполагая, что уравнения связей представлены непрерывными, сколь угодно раз дифференцируемыми функциями, перепишем уравнения в виде степенного ряда по малым значениям величин

где

для всех значений координат точек системы.

Для достаточно малых значений при которых можно пренебречь членами выше первого порядка малости, получим

или

Вариации координат удовлетворяют полученным от уравнениям связи и не могут быть все заданы произвольно. Из условия, что матрица, составленная из коэффициентов при имеет ранг от, следует, что от из величин являются зависимыми и могут быть выражены через остальные независимых величин Число называют числом степеней свободы системы. Оно равно числу независимых параметров, определяющих положение механической системы. Такими параметрами могут быть как независимых декартовых координат, так и криволинейные координаты, в ряде случаев более отвечающие рассматриваемой задаче. Так, например, положение точки на окружности можно задать всего одним параметром, в качестве которого можно выбрать угол, который радиус, соединяющий точку с центром окружности, образует с некоторой заданной прямой.

2. Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа. Как уже говорилось, для определения положения механической системы, на которую наложено двусторонних связей, достаточно задать только от каких-либо независимых параметров, полностью определяющих положение этой системы. Число независимых параметров равно числу степеней свободы системы. Каждая новая связь будет на единицу уменьшать число степеней свободы, а следовательно, и число независимых параметров, определяющих положение системы. Здесь всюду предполагается, что на систему наложены удерживающие связи. Независимые параметры, через которые могут быть выражены все декартовы координаты точек системы и которые полностью определяют положение последней, называются обобщенными координатами системы, или лагранжевыми координатами

(они были введены в механику Лагранжем). Эти лагранжевы координаты имеют вполне определенный геометрический смысл. Они вообще могут отличаться от декартовых координат, но могут также и включать в свое число одну или несколько декартовых координат. Обозначая независимых параметров, через которые выражаются все декартовы координаты точек системы, через будем иметь

Во всех случаях, когда декартовы координаты различных точек системы могут быть выражены в явном виде через систему независимых параметров (которые можно изменять независимо один от другого), полностью определяющих положение системы, будем называть такую систему голономной, а сами параметры — координатами голономной системы. В этом случае можно утверждать, что на систему наложено различных связей. Если из уравнений системы (а) определить величины в функции величин из и подставить в оставшиеся уравнений получим зависимостей между координатами которые и будут представлять собой уравнения связей. Условие разрешимости уравнений (а) относительно величин сводится к тому, что в прямоугольной матрице из частных производных

содержащей столбцов и строк, хотя бы один из миноров -того порядка будет отличен от нуля, т. е. матрица имеет ранг

Пусть значения параметров определяют некоторое положение системы. Рассмотрим близкое к данному положение этой системы, которое определяется значениями параметров:

Тогда вариации декартовых координат получат вид

и все возможные перемещения системы можно будет задать при помощи вариаций независимых параметров Пусть на точку системы с координатами действует активная сила Необходимое и достаточное условие равновесия

при помощи равенств (а) можно выразить через вариации независимых параметров

или, после изменения порядка суммирования,

Обозначив через выражение, стоящее в квадратных скобках

и перепишем уравнение в виде

Величины называют обобщенными силами системы, соответствующими -той обобщенной координате. В дальнейшем всегда будем предполагать, что параметры выбраны так, что для каждого положения системы для любого существует перемещение, определяемое условиями

и нет перемещений, при которых все

Так, например, положение точки, вынужденной оставаться на окружности определяется всего одним параметром. Но если в качестве такого параметра выбрать координату у, то при частная производная теряет смысл и координата у перестает удовлетворять определению лагранжевых координат. Нетрудно видеть, что при возможному перемещению точки соответствует значение а вариация координаты х становится неопределенной. Параметр у является координатой Лагранжа всюду, за исключением значений

Так как все совершенно произвольны и независимы, равенство будет справедливо лишь тогда, когда все обращаются в нуль, т. е. выполняются условия

Полученные уравнений равновесия называются уравнениями Лагранжа. Они определяют неизвестных значений обобщенных координат соответствующих положению равновесия системы.

Выражение представляет собой сумму работ всех активных сил, действующих на систему, на произвольном возможном перемещении системы, т. е.

Если сообщить системе возможное перемещение, соответствующее изменению только одной обобщенной координаты, например перемещение, определяемое условиями

и подсчитать работу сил на этом перемещении, то получим соотношение для определения обобщенной силы

Так можно подсчитать все обобщенные силы системы.

Если существует силовая функция то , выразив силовую функцию через обобщенные координаты Лагранжа, получим

В качестве примера рассмотрим задачу о равновесии свободного твердого тела. Для определения его положения зададим координаты произвольной точки С твердого тела (рис. 130). Свяжем с точкой С декартову систему прямоугольных осей перемещающихся поступательно, и систему неизменно связанную с твердым телом. Положение последней системы относительно осей определим углами Эйлера . Каждую из шести величин можно изменять независимо от других. Все они полностью определяют положение твердого тела в пространстве. Если все названные параметры остаются неизменными, то не будет двигаться и твердое тело. Параметры являются определяющими координатами системы. Декартовы координаты произвольной точки твердого тела могут быть выражены через эти параметры. В самом деле, для произвольной точки твердого тела имеем

Рис. 130

Рис. 131

Записав таблицу направляющих косинусов углов, образованных осями с осями заметим, что система может быть получена из системы тремя конечными поворотами (рис. 131), которые определяются следующими формулами преобразования:

Тогда результирующее преобразование получит вид

Сравнивая полученные формулы с выражениями

получим значения направляющих косинусов, выраженных через углы Эйлера

Эти формулы устанавливают явную зависимость декартовых координат от независимых параметров, определяющих положение твердого тела.

Возможные скорости точек твердого тела удовлетворяют формуле Эйлера

Для проекций возможных скоростей точек твердого тела на оси получим

Отсюда сразу находим проекции возможных перемещений точек системы

Полученные формулы устанавливают зависимость возможных перемещений от проекций мгновенной угловой скорости твердого тела Последние определяют только возможные перемещения твердого тела. Декартовы координаты х, у, z точек твердого тела не могут быть выражены через

Предполагая, что на точки твердого тела действуют активные силы запишем принцип Бернулли в виде

где

Тогда после подстановки будем иметь

или

откуда следует

Это уравнение должно выполняться при любых возможных перемещениях твердого тела, находящегося в равновесии, т. е. при произвольных значениях что возможно, если удовлетворяются условия

являющиеся известными уравнениями равновесия твердого тела.

Пример 50. Два одинаковых стержня и каждый длиной 21 и весом Р, связаны между собой шарниром С и опираются на неподвижный цилиндр радиуса с горизонтальной осью (рис. 132). Найти угол при равновесии системы и угол который биссектриса этого угла составляет с вертикалью.

Рис. 132

Рис. 133

Решение. Параметры полностью определяют положение системы и потому могут рассматриваться как лагранжевы координаты. Тогда уравнения равновесия получат вид

Первое из этих уравнений получаем, полагая что не изменяется при возможных перемещениях системы. Определив координату центра тяжести системы

получим уравнение равновесия

Полагая, что при возможных перемещениях но изменяется получим

Этим уравнениям удовлетворяют следующие решения:

, что возможно только при и угол определяется из уравнения

что возможно, когда или угол здесь определяется из уравнения

и, следовательно, должно быть выполнено условие Стержень не оторвется от цилиндра только тогда, когда угол будет отрицательным. Последнее выполняется только при что противоречит условию для определения

Если то уравнения равновесия имеют еще одно решение: образующее в нуль выражения, стоящие в круглых скобках.

Замечание. При определении обобщенных сил необходимо следить за тем, чтобы все обобщенные силы определялись в одной и той же системе независимых переменных. Поясним это на примере.

Пример 51. Система состоит из двух материальных точек Л и В, связанных между собой нерастяжимой нитыо АВ длины и соединенных с неподвижной точкой О нерастяжимой нитыо длиной (рис. 133). К точке А приложена вертикальная сила к точке В — горизонтальная сила Определить положение равновесия системы,

Решение. Выберем сначала за независимые переменные углы и которые образуют соответствующие нити с вертикалью. Определяя обобщенные силы в этой системе переменных, получим

откуда имеем следующие условия равновесия:

Если же за независимые переменные выбрать углы определен выше, а угол между направлениями нитей), то уравнения равновесия получат вид

хотя условия равновесия и не изменяются.

Пример 52. Определить выражение обобщенной силы для твердого тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси

Решение. Возможное перемещение сводится к повороту вокруг неподвижной оси. Примем эту ось за ось Тогда для определения проекций возможных перемещений можно будет записать матрицу

откуда будем иметь

Подсчитывая работу активных сил на этом возможном перемещении, получим

где

представляет собой сумму моментов активных сил относительно оси т. е. обобщенная сила сводится к моменту результирующей пары.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление