Главная > Разное > Краткий справочник для инженеров и студентов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. Векторное и смешанное произведения

Векторным произведением векторов a и b называется вектор определяемый условиями:

1) вектор с перпендикулярен векторам a и b;

2) , где — угол между векторами a и b;

3) образуют правую тройку векторов, т.е. если начала векторов и с поместить в одну точку, то кратчайший поворот вектора а к наблюдается с конца вектора с происходящим против часовой стрелки (рис. 8).

Рис. 8.

Векторные произведения ортов:

Если

Свойства векторного произведения:

3. (k — число).

4. Векторы и 6 коллинеарны тогда и только тогда, когда

5. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, равна модулю их векторного произведения:

Пример. Найти площадь треугольника с вершинами

Решение. Имеем Вычислим

Поэтому

Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора а на вектор , т.е. .

Свойства смешанного произведения:

1) При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак:

2) Векторы компланарны (т.е. параллельны одной плоскости) тогда и только тогда, когда

3) Если векторы не компланарны, то на них можно построить параллелепипед; его объем Объем пирамиды, построенной на векторах , составляет одну шестую часть объема указанного параллелепипеда:

Если то их смешанное произведение вычисляется как определитель третьего порядка:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление