Главная > Разное > Краткий справочник для инженеров и студентов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.4. Теорема об изменении кинетического момента

Момент количества движения и кинетический момент.

Моментом количества движения материальной точки относительно неподвижного центра Р называется вектор равный векторному произведению радиуса-вектора, соединяющего центр с точкой, на количество движения точки:

Кинетическим моментом (главным моментом количества движения) механической системы относительно центра Р называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно центра

Моментом количества движения точки относительно оси х называется величина равная проекции на эту ось момента количества движения точки относительно любого центра Р, принадлежащего оси:

Вычисляется так же, как момент силы относительно оси.

Кинетическим моментом системы относительно оси х называется проекция на нее момента системы относительно любого центра Р, принадлежащего оси:

Аналитическое выражение для кинетического момента системы относительно оси х имеет вид

Формулы для аналогичны приведенной.

Можно показать, что кинетический момент системы относительно центра Р равен сумме момента количества движения центра масс относительно центра Р и кинетического момента системы относительно центра масс С в ее относительном движении в системе Кёнига

Здесь — кинетический момент системы в ее движении по отношению к системе отсчета Кёнига.

Кинетический момент твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси с угловой скоростью ивычисляется по формуле

где — момент инерции твердого тела относительно оси

Теорема об изменении кинетического момента механической системы: производная по времени от кинетического момента относительно любого неподвижного центра Р равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра:

Проектируя (6) на оси координат (например, на ось x), получим теорему об изменении кинетического момента системы относительно неподвижной оси:

Если эту теорему применить к изучению движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси получим дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

где — угол поворота.

Закон сохранения кинетического момента: если главный момент внешних сил системы относительно центра Р равен нулю, то главный момент количеств движения относительно этого центра будет постоянным. Например,

Рис. 30.

В правой части равенства располагается вектор-константа, т.е. и величина вектора, и его направление не зависят от времени.

Если сумма моментов внешних сил системы относительно какой-либо неподвижной оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси остается постоянным. Например,

Пример. На однородный барабан веса и радиуса намотана невесомая нить с грузом веса на конце (рис. 30). Определить ускорение груза, пренебрегая силами трения при вращении барабана.

Решение. Включим в систему барабан, груз и нить. Расставим внешние силы активные силы веса и силу реакции проходящую через

ось вращения О. Направление силы заранее неизвестно, поэтому рисуем ее произвольно. Пары сил трения в оси не возникает, что следует из условия задачи.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы относительно оси вращения барабана (7):

Подсчитывая как сумму кинетических моментов барабана и груза, с учетом (1), (5) и равенства получим

Вычислим сумму моментов внешних сил относительно оси

Подставив правые части формул (9), (10) в выражение (8) и проведя дифференцирование, найдем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление