Главная > Разное > Краткий справочник для инженеров и студентов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.6. Непрерывность

Непрерывные функции. Функция называется непрерывной в точке если она определена в этой точке (и ее окрестности) и

У непрерывных функций малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции , т. е. при (Это свойство нередко используют в качестве определения непрерывной функции.)

Функция называется непрерывной справа в точке если она определена в этой точке (и справа от нее)

Функция называется непрерывной слева в точке если она определена в этой точке (и слева от нее) и

Свойства непрерывных функций:

1. Если функции непрерывны в точке а, то функции также непрерывны в этой точке.

2. Если непрерывна в точке а и , то существует такое число что (соответственно ) при .

3. Функция непрерывная в каждой точке отрезка ограничена на этом отрезке и достигает на нем своего наибольшего значения М и наименьшего значения .

4. Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке любое значение с .

5. Если непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке то на отрезке (соответственно на отрезке определена непрерывная и возрастающая (убывающая) обратная функция

6. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке а.

Замечание. Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке интервала, входящего в ее область определения.

Точки разрыва функции. Точка а называется точкой разрыва первого рода функции если существуют конечные

односторонние пределы но не выполняются соотношения Величина называется скачком функции в точке а. В частности, если то точка а называется точкой устранимого разрыва.

Примеры функций с точкой разрыва первого рода.

1. Функция имеет в точке разрыва скачок, равный 1.

2. Функция имеет устранимый разрыв в точке

Точка а называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Примеры функции с точкой разрыва второго рода.

1. Функция — имеет разрыв второго рода в точке (так как у этой функции не существует односторонних пределов при .

2. Функция имеет бесконечный разрыв в точке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление