Главная > Разное > Краткий справочник для инженеров и студентов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.4. Интегрирование рациональных функций

Описание метода. Рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение многочленов

Бели то дробь называется правильной; если — неправильной.

Каждую правильную дробь можно разложить на сумму простейших дробей. Для этого знаменатель дроби следует разложить на простые множители вида

где — натуральные числа, Каждому такому множителю в разложении рациональной функции (2) на простейшие дроби отвечает столько слагаемых, какова степень соответствующего множителя:

Для определения неизвестных постоянных приравнивают исходною рациональную дробь сумме указанных простейших дробей и приводят обе части полученного выражения к общему знаменателю. Выделяя затем коэффициенты при одинаковых степенях х, приходят к системе линейных уравнений относительно

Интегралы от наиболее часто встречающихся простейших дробей находятся по формулам (постоянная интегрирования С опускается):

Для интегрирования неправильной дроби следует при помощи деления с остатком выделить правильную часть. В итоге неправильная дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной дроби, которые интегрируются отдельно.

Примеры интегрирования рациональных функций.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Представив знаменатель подынтегрального выражения в виде произведения разложим (правильную) подынтегральную дробь на сумму простейших:

Приведя сумму дробей в правой масти этого равенства к общему знаменателю и приравняв числитель полученной дроби к числителю исходной дроби, имеем

Раскрывая скобки и приравнивал коэффициенты при : и свободные члены этого тождества, получим систему уравнений для

Находим ее решение: . Поэтому

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Разложим дробь в подынтегральном выражении на сумму про стейших дробей

Приведем обе части к общему знаменателю и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х. В результате получим систему линейных равнений, откуда определим постоянные Вычисление исходного интеграла сводится к вычислению четырех интегралов от простейших дробей, для чего используются формулы, указанные перед первым примером.

Пример 3. Вычислить интегргш

Решение. .

Некоторые интегралы, приводящиеся к интегралам от рациональных функций, рассмотрены в разд. 7.5, 7.6.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление