Главная > Разное > Краткий справочник для инженеров и студентов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12.6. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Некоторые определения. Многие системы дифференциальных уравнений могут быть записаны в так называемой нормальной форме:

Решением системы ДУ называется совокупность функций которые при подстановке в каждое из уравнений превращают его в тождество. Одно порядка всегда можно заменить нормальной системой (4), вводя вспомогательные неизвестные функции. Часто верно и обратное: нахождение решения системы (4) можно свести к решению одного порядка.

Пример 1. Решить систему ДУ

Решение. Выразив из первого уравнения и подставив его во второе уравнение, получим линейное ДУ второго порядка для . Общее решение этого уравнения имеет вид Вторая неизвестная функция находится из полученного выше выражения для .

Общее решение нормальной системы (4) имеет вид

— произвольные постоянные. Задавая значения искомых функций при некотором значении можно поставить для системы ДУ задачу о нахождении частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям (задачу Коши). Как и в случае одного ДУ, для системы (4) имеет место теорема, гарантирующая существование и единственность частного решения при непрерывности правых частей вместе с их частными производными.

В приложениях наиболее часто встречаются нормальные системы линейных ДУ. Для краткости ограничимся системой двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

Такие системы обычно решают, не сводя их к одному ДУ. Если то система называется однородной. Общее решение неоднородной системы (5) складывается из общего решения соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения неоднородной системы (как и в случае одного линейного ДУ).

Для построения общего решения однородной системы сначала находят ее частное решение, имеющее вид

где — собственное значение матрицы системы, т.е. корень характеристического уравнения

а координаты собственного вектора находят из системы линейных однородных алгебраических уравнений

После этого строят общее решение однородной системы. Возможны следующие случаи.

1. Характеристическое уравнение (6) имеет два действительных различных корня k1 и k2. Этим корням отвечают два собственных вектора с координатами (координаты определяются с точностью до числовых множителей). Общее решение исходной однородной системы ДУ определяется линейной комбинацией частных решений

где — произвольные постоянные.

Пример 2. Решить систему

Решение. Характеристическое уравнение

имеет корни Система уравнений (7) для нахождения координат собственных векторов записывается в виде

Отсюда Взяв, например, получим Таким образом, первым частным решением однородной системы ДУ является (с точностью до постоянного множителя)

При аналогичным образом находим второе частное решение: Линейная комбинация двух найденных частных решений дает общее решение однородной системы:

В этом примере легко усматривается частное решение полной (неоднородной) системы: Поэтому общее решение исходной неоднородной системы ДУ имеет вид

2. Характеристическое уравнение (6). имеет пару комплексно сопряженных корней В этомслучае следует найти комплексное частное решение однородной системы ДУ (аналогично тому, как это делалось выше при отыскании частного решения, отвечающего действительному корню). Отделяя затем действительную и мнимую части комплексного решения, получим два действительных линейно независимых частных решения, линейная комбинация которых даст общее решение однородной системы ДУ.

Пример 3. Решить систему ДУ:

Решение. Характеристическое уравнение

имеет корни Система () для нахождения координат (комплексного) собственного вектора имеет вид

Из этой системы при находим одно из ненулевых решений: Соответствующее комплексное решение системы дается формулами — Отделяя здесь действительные и мнимые части и составляя их линейную комбинацию, получим общее решение системы:

3. Характеристическое уравнение (6) имеет один действительный двукратный корень Полный анализ этого случая проводится методами линейной алгебры. На практике решение системы удобно искать методом неопределенных коэффициентов в виде

Пример 4. Решить систему

Решение. Характеристическое уравнение

имеет двукратный корень Решение системы ищем в виде () при Подставляя эти выражения в исходную систему и сокращая на получим Отсюда видно, что а и можно считать произвольными числами (которые обозначим соответственно через и и что Таким образом, общее решение исходной однородной системы ДУ запишется в виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление