Главная > Разное > Краткий справочник для инженеров и студентов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13. Приближенные вычисления

13.1. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов служит для приближенного определения функции, заданной таблично по результатам измерений. Общий вид искомой функциональной зависимости задают априорно с помощью набора параметров (неопределенных коэффициентов) исходя из различных соображений. Наиболее часто используют линейную,

степенную и экспоненциальную зависимости. Неопределенные коэффициенты определяются путем минимизации суммы квадратов разностей между результатами измерений и искомой зависимостью при тех же значениях аргумента.

Далее будем считать, что — табличные значения аргумента, а — соответствующие значения функции.

Линейная функция. Пусть в качестве искомой зависимости выбрана линейная функция Для вычисления неопределенных коэффициентов a и b необходимо минимизировать сумму

Используя необходимые условия минимума функции (т.е. приравнивая нулю частные производные по параметрам a и b), получим систему двух линейных уравнений для a и b:

Значения здесь считаются заданными.

Квадратичная функция. Если в качестве искомой зависимости взять квадратичную функцию , то для определения коэффициентов и с приходим к системе трех линейных уравнений

Общий случай. Рассмотрим общий случай функциональной зависимости

где — параметры, которые подлежат определению методом наименьших квадратов.

Составим сумму

Необходимые условия минимума этого выражения приводят к следующей системе алгебраических (или трансцендентных) уравнений для нахождения неопределенных параметров:

которая в общем случае будет нелинейной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление