Главная > Разное > Краткий справочник для инженеров и студентов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14.4. Математическое ожидание и дисперсия

Случайные величины и их числовые характеристики.

Пусть — пространство элементарных событий. Случайной величиной X называется числовая функция определенная на множестве такая, что для любого х определена вероятность Эта вероятность называется функцией распределения случайной величины она имеет следующие свойства:

Если X — дискретная случайная величина, принимающая значения с вероятностямирх, имеющая ряд (закон) распределения, задаваемый таблицей

то функция распределения имеет вид

Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения либо плотностью вероятности которые связаны формулами

Плотность вероятности имеет следующие свойства:

Математическим ожиданием случайной величины X называется число которое вычисляется по формулам

где ряд и несобственный интеграл предполагаются сходящимися. Свойства математического ожидания:

В последней формуле считается, что X и Y — независимые случайные величины, т.е. такие, для которых при любых х и у справедливо равенство

Дисперсией случайной величины X называется число

которое вычисляется по формулам

Для вычисления дисперсии можно также использовать выражение

Дисперсия имеет следующие свойства:

Последняя формула справедлива для независимых случайных величин

Среднее квадратичное отклонение случайной величины X определяется формулой

Нормальный закон распределения случайной величины.

Говорят, что случайная величина X распределена по нормальному закону (или закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид

где

Вероятность того, что нормально распределенная величина X принимает значение в интервале определяется по формуле

где — функция Лапласа.

Пример. При изготовлении некоторого изделия его вес X подвержен случайным колебаниям. Считаем, что стандартный вес изделия равен его среднее квадратичное отклонение равно а случайная величина X распределена по нормальному закону. Найти вероятность того, что вес наугад выбранного изделия находится в пределах от 28 до 31 г.

Решение. Полагая в последней формуле получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление