Макеты страниц 2.2. Кручение стержня с круглым поперечным сечением. Уравнения равновесияПод кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы (изгибающие моменты, нормальная и поперечные силы) равны нулю. Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент На рис. 2.9 показан стержень, нагруженный по концам моментами
Рис. 2.9 будет отрицательным. Тот же самый результат может быть получен, если посмотреть из точки С на плоскость В. Указанным правилом знаков руководствуются при построении эпюр крутящих моментов. На рис. 2.10 показано несколько примеров нагружения стержня сосредоточенными
Рис. 2.10 При расчете стержня на кручение надо решить две основные задачи. Требуется определить напряжения и найти угловые перемещения в зависимости от внешних моментов. Эти задачи решают по-разному, смотря по тому, какой вид имеет поперечное сечение стержня. Наиболее просто можно получить решение в случае кругового сечения, а также для широкого класса тонкостенных стержней. Механизм деформирования стержня с круглым поперечным сечением можно представить себе в следующем виде: будем считать, что каждое поперечное сечение в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Этот угол поворота для различных сечений будет различным. Сказанное представляет собой гипотезу плоских сечений - предположение, оправдываемое общими правдоподобными соображениями о характере возникающих перемещений. Окончательным критерием пригодности любой гипотезы является опыт. Получив расчетную формулу, нужно прежде всего сопоставить результаты расчета с экспериментом, и если между ними обнаруживается достаточно хорошее соответствие, гипотеза считается приемлемой. Надо сказать, что задача о кручении стержня может быть решена не только методами сопротивления материалов, но также и методами теории упругости без принятия каких-либо гипотез, кроме предположения о непрерывности строения вещества. Решение, полученное этим путем, показывает, что круглое поперечное сечение бруса действительно остается плоским и поворачивается как жесткое целое. В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Вернемся к стержню с круговым поперечным сечением, нагруженному по торцам двумя моментами (см. рис. 2.9). В поперечных сечениях стержня возникает постоянный крутящий момент
Двумя поперечными сечениями выделим из стержня элемент длиной
Рис. 2.11 Правое торцевое сечение кольца поворачивается при кручении относительно левого на угол
Угол 7 представляет собой не что иное, как угол сдвига цилиндрической поверхности. Величину
и называют относительным углом закручивания. Это - угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина в аналогична относительному удлинению при растяжении
По закону Гука для сдвига
где
Рис. 2.12 Элементарные силы
Таким образом, получаем
Произведение Через относительный угол закручивания в легко определить и взаимный угол поворота сечений
Уравнение (2.8) и первое уравнение системы
Система уравнений (2.9) позволяет определить внутренний крутящий момент Из уравнения (2.8) получаем
где Если крутящий момент по длине стержня не изменяется,
Вернемся теперь к выражению (2.5). Исключив из него
Таким образом, касательные напряжения в поперечном сечении распределены вдоль радиуса по линейному закону и имеют наибольшее значение в точках, наиболее удаленных от оси (рис. 2.13). При этом
Величина
Рис. 2.13
Рис. 2.14 называется полярным моментом сопротивления и измеряется в
Формулы (2.11) и (2.14) являются основными расчетными формулами для кручения стержня с круговым поперечным сечением. Они справедливы как для сплошного, так и для полого кругового сечения. Определим теперь геометрические характеристики сечения
где
Если же в стержне имеется внутренняя центральная полость диаметром
или
Соответственно этим выражениям определяем полярный момент сопротивления
для кольцевого сечения (полый вал)
Таким образом, из выражений (2.11) и (2.15) видно, что при заданном крутящем моменте угловые перемещения вала обратно пропорциональны четвертой степени диаметра. Что же касается наибольшего напряжения, то оно, согласно выражениям (2.14) и (2.17), обратно пропорционально кубу диаметра Касательные напряжения в поперечных сечениях стержня направлены в каждой точке перпендикулярно текущему радиусу
Рис. 2.15 Дерево, как известно, обладает ярко выраженной анизотропией упругих и прочностных свойств. Древесина имеет сравнительно низкую прочность на скалывание вдоль волокон. Поэтому разрушение деревянного образца при кручении начинается с образования продольных трещин (рис. 2.16).
Рис. 2.16 Если двумя парами осевых и поперечных сечений выделить из закрученного стержня элемент Из предыдущего параграфа мы уже знаем, что если изменить ориентацию сечений, повернув их в плоскости сдвига на 45°, то в новых площадках обнаруживаются только нормальные напряжения, имеющие одинаковое с
Рис. 2.17 Согласно сказанному, на гранях элемента Наглядной иллюстрацией этого может служить характер разрушения хрупких образцов при кручении. Хрупкие материалы разрушаются обычно по поверхности наибольших растягивающих напряжений. Если подвергнуть испытанию на кручение образец из хрупкого материала, например чугуна, то разрушение произойдет по сложной винтовой поверхности, соответствующей максимальным растягивающим напряжениям (рис. 2.18).
Рис. 2.18 Наличие растягивающих и сжимающих напряжений в наклонных площадках при кручении можно наглядно проиллюстрировать и другим способом. На поверхности цилиндра, изготовленного из пластичного материала (рис. 2.19), краской было предварительно нанесено множество мелких кружочков. При закручивании бруса кружки превратились в эллипсы с главными осями, направленными под углом 45° к образующим. По направлению больших осей эллипса произошло удлинение, а вдоль малых осей - сжатие.
Рис. 2.19
Рис. 2.20 Потенциальную энергию деформации, накопленной стержнем при кручении, можно определить аналогично тому, как это делали в случае растяжения. Рассмотрим участок закрученного стержня длиной
где В полученное выражение подставляем
Потенциальную энергию во всем стержне определяем интегрированием выражения (2.19) по длине:
Если момент
Рассмотрим некоторые примеры. Пример 2.1. Вал передает момент Согласно формуле (2.14), для обоих сечений
Для сплошного сечения, согласно выражению (2.17),
Для полого сечения
Расход металла пропорционален площади поперечного сечения. В первом случае
во втором -
Таким образом, полое сечение является более экономичным и в рассматриваемом случае (при
Рис. 2.21 То, что полый вал является более выгодным, чем вал сплошного сечения, ясно из рассмотрения эпюры напряжений в сечении вала (рис. 2.21). В центральной части сплошного сечения материал напряжен сравнительно мало и его использование далеко не полно. Для сечения с отверстием напряжения распределены более равномерно (см. рис. 2.21) и степень использования материала повышается. Пример 2.2. Построить эпюры крутящих моментов, напряжений и углов поворота для вала, показанного на рис. 2.22, а.
Рис. 2.22 Система является один раз статически неопределимой. Поэтому сначала раскрываем статическую неопределимость. Для этого отбрасываем левую заделку и ее действие на вал заменяем моментом Угол поворота сечения А может быть выражен как алгебраическая сумма взаимных углов поворота торцевых сечений на участках Согласно формуле (2.11), соответственно этим участкам получаем
где
Учитывая это соотношение, находим
Теперь легко построить эпюру крутящих моментов (рис. 2.22, в), а по формуле (2.14) определить При рассмотрении построенной эпюры напряжений следует учитывать, что в зонах приложения внешних моментов имеет место отклонение действительного закона распределения напряжений в сечении от полученного линейного. Однако, согласно принципу Сен-Венана, эти отклонения носят местных характер и практически не распространяются по оси за пределы расстояний порядка диаметра сечения. Находим углы поворота сечений. На первом участке угол поворота сечения, расположенного на расстоянии
Эта зависимость изображается прямой, показанной на эпюре
На втором участке к этому углу прибавляем
где Пример 2.3. Имеется система, показанная на рис. 2.23. Рычаги АВ и При малой силе Р зазор
После того как зазор закроется, система становится статически неопределимой. Пусть
Рис. 2.23
Рис. 2.24 I и II. Из условий равновесия
Уравнение перемещений будет следующим:
или, согласно формуле (2.11),
Исключал
Искомое перемещение
Выражение (2.21) применимо до значений
Если сила превышает эту величину, перемещение следует определять по формуле (2.22). На рис. 2.24 показана зависимость перемещения
|
Оглавление
|