Главная > Разное > Сопротивление материалов (Феодосьев В.И.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.3. Интеграл Мора

Определение перемещений при помощи теоремы Кастилиано, как можно было убедиться на примерах, обладает тем очевидным недостатком, что дает возможность найти перемещения только точек приложения внешних сил и только в

направлении этих сил. На практике же возникает необходимость определять перемещения любых точек системы в любом направлении.

Выход из указанного затруднения оказывается довольно простым. Если необходимо найти перемещение точки, к которой приложены внешние силы, мы сами прикладываем в этой точке внешнюю силу Ф в интересующем нас направлении. Далее, составляем выражение потенциальной энергии системы с учетом силы Ф. Дифференцируя его по Ф, находим перемещение рассматриваемой точки по направлению приложенной силы Ф. Теперь остается вспомнить, что на самом деле силы Ф нет, и положить ее равной нулю. Таким образом, можно определить искомое перемещение.

Определим перемещение точки А в направлении оси для стержневой системы, показанной на рис. 5.12.

Рис. 5.12

Приложим в точке А по направлению силу Ф. Внутренние силовые факторы в каждом поперечном сечении при этом, вообще говоря, изменятся на величины, зависящие от силы Ф. Например, крутящий момент в некотором поперечном сечении будет иметь вид

где первое слагаемое представляет собой момент, который возникает под действием заданной системы внешних сил, а второе слагаемое - дополнительный момент, который появляется в результате приложения силы Ф. Понятно, что и являются функциями т. е. изменяются по длине стержня. Аналогично появляются дополнительные слагаемые и у остальных внутренних силовых факторов: и т. д.

Совершенно очевидно, что дополнительные силовые факторы пропорциональны Ф. Если силу Ф, например, удвоить, удвоятся соответственно и дополнительные силовые факторы. Следовательно,

где - некоторые коэффициенты пропорциональности, зависящие от положения рассматриваемого сечения, т.е. переменные по длине стержня.

Если исключить систему внешних сил и заменить силу Ф единичной силой, то Следовательно, суть не что иное, как внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении под действием единичной силы, приложенной в рассматриваемой точке в заданном направлении.

Вернемся к выражению энергии (5.3) и заменим в нем внутренние силовые факторы их значениями (5.7). Тогда

Дифференцируя это выражение по Ф и полагая после этого находим перемещение точки А:

Полученные интегралы носят название интегралов Мора.

Заметим, что интегралы Мора могут быть выведены и без использования теоремы Кастилиано из простых геометрических соображении. Рассмотрим, например, консоль, показанную на рис. 5.13, и определим перемещение точки А по направлению Будем считать для простоты, что искомое перемещение является следствием только изгиба.

Рис. 5.13

На элементарном участке длиной произойдет изменение кривизны, и правое сечение повернется относительно левого на

где - новая, - старая кривизна.

Вследствие возникновения местного угла поворота правая часть повернется как жесткое целое, и точка А переместится по направлению на Но Следовательно, Отрезок ОВ представляет собой не что иное, как момент относительно точки О единичной силы, приложенной в точке А по направлению Таким образом, или

откуда

Аналогично можно составить выражения перемещений для кручения, растяжения и сдвига. В общем случае

Выражение (5.9) является более универсальным, чем выражение (5.8), поскольку в нем не предполагается линейной зависимости от внутренних силовых факторов. Оно применимо, в частности, и для случая неупругого изгиба и кручения.

Если материал подчиняется закону Гука, то

и тогда выражение (5.9) переходит в (5.8).

Пример 5.4. Определить горизонтальное перемещение точки А консоли, показанной на рис. 5.14, а. Жесткость всех участков постоянна к равна

Рис. 5.14

В рассматриваемом стержне основную роль играют изгибные перемещения. Перемещения вследствие растяжения и сдвига так же малы по сравнению с перемещениями изгиба, как и энергия растяжения и сдвига

по сравнению с энергией изгиба. Поэтому из шести интегралов Мора берем один - для изгиба -

(изгиб во второй плоскости и кручение отсутствуют).

Изгибающий момент силы Р на участке АВ равен нулю. На участке а на участке

Момент от единичной силы на участке равен нулю, а на участке Знак минус поставлен в связи с тем, что единичный изгибающий момент направлен в сторону, противоположную

Произведение на участке оказывается равным нулю. Поэтому интегрирование ведем только на участке Заменяя на получаем

откуда

Знак минус указывает на то, что горизонтальное перемещение точки А направлено не по единичной силе, а против нее, т.е. влево (рис. 5.14, б).

Пример 5.5. Определить, насколько раскроется зазор в разрезанном кольце (рис. 5.15) под действием сил Р. Жесткость кольца равна

Рис. 5.15

В точке В (см. рис. 5.15) изгибающий момент от заданных сил Р равен где - центральный угол. Полагая левый конец кольца закрепленным, прикладываем к правому единичную силу, с тем чтобы найти перемещение одного конца относительно другого (рис. 5.16, а). Реакция опоры будет равна единице, поэтому оба рисунка рис. 5.16, a и b, равноценны. Из сказанного, между прочим, следует, что вообще, когда нужно найти взаимное смещение двух точек, следует прикладывать в этих точках равные, противоположно направленные единичные силы, действующие по прямой, соединяющей эти точки. Момент от единичной силы Искомое

Рис. 5.16

взаимное смещение

Пример 5.6. Определить взаимное смешение точек А в таком же кольце (см. предыдущий пример), но нагруженном силами, действующими перпендикулярно плоскости кольца (рис. 5.17, а).

Рис. 5.17

Рассмотрим кольцо в плане (рис. 5.17, 6). В сечении В возникает не только изгибающий, но и крутящий момент. Первый равен моменту силы Р относительно оси у, а второй - моменту той же силы относительно оси (см. рис. 5.17, б). Очевидно, Прикладываем в точках А единичные силы взамен сил Р. Тогда Обращаясь к выражению (5.8), оставляем в нем два первых интеграла и получаем

или

Здесь искомое перемещение определяете жесткостью кольца как на кручение, так и на изгиб.

Из рассмотренных примеров видно, что при определении перемещений для стержня, изогнутого по дуге окружности, приходится брать интегралы от простейших тригонометрических функций в различных комбинациях. В табл. 5.1 даны наиболее часто встречающиеся при решении подобных задач интегралы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление