Главная > Разное > Сопротивление материалов (Феодосьев В.И.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.5. Плоскопространственные и пространственные системы

Рассмотрим основные особенности плоскопространственных систем. Как уже указывалось выше, плоскопространственными называются системы, плоские в геометрическом отношении, но нагруженные силовыми факторами, перпендикулярными плоскости рамы. Примеры плоскопространственных систем представлены на рис. 6.37.

Рис. 6.37

Особенностью этих систем является то, что во всех поперечных сечениях внутренние силовые факторы, лежащие в плоскости рамы, равны нулю. Доказывается это так же, как и при рассмотрении свойств с учетом прямой и косой симметрии.

Рис. 6.38

Положим, имеется некоторая плоскопространственная рама (рис. 6.38). Разрезаем эту раму в произвольном сечении, превращая ее в статически определимую. Обозначим через силовые факторы, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости рамы. Это - изгибающий и крутящий моменты и вертикальная поперечная сила. Остальные три силовых фактора в сечении обозначим через На

рис. 6.38 эти силовые факторы, возникающие в плоскости рамы, вынесены для ясности в сторону.

Система канонических уравнений

распадается здесь на две независимых системы, поскольку при перемножении эпюр от первых трех факторов на эпюры от трех последних получим всегда нуль:

При этом, естественно, предполагаем, что одна из главных осей сечения расположена в плоскости рамы.

Таким образом, получаем

Если внешние силы действуют в плоскости рамы, т.е. если рама является плоской в обычном понимании, то обращаются в нуль и внутренние силовые факторы равны нулю. Это значит, что для плоской рамы возникают только внутренние факторы, действующие в ее плоскости.

Если же внешняя нагрузка перпендикулярна плоскости рамы, то равны нулю Тогда равны нулю и . В заданной для расчета раме, как видим, сохраняются внутренние силовые факторы, плоскости действия которых перпендикулярны к плоскости рамы.

При смешанной нагрузке (рис. 6.39), действующей на плоскую раму, всегда имеется возможность разложить силы по плоскостям и рассмотреть отдельно плоскую и плоскопространственную системы. Внутренние силовые факторы определяют в дальнейшем как результат наложения полученных решений.

Рис. 6.39.

Перейдем к пространственным статически неопределимым системам. Исследование таких систем не содержит в себе принципиальных трудностей. Понятно, что для пространственных систем задача раскрытия статической неопределимости выглядит, как правило, более громоздкой, чем для плоских систем. Однако канонические уравнения метода сил остаются теми же, и их коэффициенты определяют при помощи тех же приемов.

Особого внимания при раскрытии статической неопределимости пространственных рам требует проверка основной системы на кинематическую неизменяемость. Случается, что пространственная система представляет собой механизм, но обнаруживается это только при внимательном рассмотрении. Например, системы с пространственными шарнирами, показанные на рис. 6.40, являются кинематически изменяемыми.

Рис. 6.40

Для каждой из них наложенные связи не препятствуют вращению системы относительно осей, отмеченных на рис. 6.40 штриховыми линиями.

Проверку пространственной системы на кинематическую неизменяемость проводят обычно при помощи проб, т.е. путем последовательных попыток мысленно сместить раму или некоторые ее элементы относительно неподвижных осей.

В связи со сказанным следует в заключение отметить, что требование кинематической неизменяемости, которое подчеркивалось выше, вообще говоря, не всегда является обязательным. В некоторых случаях кинематическая изменяемость основной системы может быть допущена, но этот вопрос решают обязательно в связи с особенностями приложенных к системе сил. Так, в примере 6.5 кольцевая рама была рассечена двумя сечениями (см. рис. 6.30). Части рамы получили при этом возможность свободно перемещаться одна относительно другой. Однако полученная кинематическая изменяемость не оказалась существенной, поскольку и система заданных, и система единичных сил были уравновешены независимо одна от другой.

Пример 6.8. Раскрыть статическую неопределимость рамы, показанной на рис. 6.41, а. Жесткость составляющих стержней на изгиб равна а на кручение

Рис. 6.41

Рама является плоскоеространственной. Поэтому в любом ее поперечном сечении силовые факторы, лежащие в плоскости рамы, равны нулю. Кроме того, рама симметрична. Следовательно, в поперечном сечении в плоскости симметрии обращаются в нуль кососимметричные факторы - крутящий момент и вертикальная поперечная сила. Отличным от нуля остается только изгибающий момент в вертикальной плоскости. Разрезаем раму по плоскости симметрии и прикладываем момент (рис. 6.41, б). Строим эпюру моментов от заданных сил и единичного момента (рис. 6.41, в и г) и находим коэффициенты канонического уравнения

Получаем

Тогда

Если рама состоит из стержней, имеющих круглое поперечное сечение, то

Суммарная эпюра изгибающих моментов дана на рис. 6.42.

Рис. 6.42

Пример 6.9. Раскрыть статическую неопределимость пространственной рамы, показанной на рис. 6.43, а. Жесткости на изгиб и на кручение для всех элементов рамы одинаковы.

Рама симметрична относительно вертикальных плоскостей АВ и Разрезая раму по первой плоскости симметрии, получаем в сечениях только симметричные силовые факторы (рис. 6.43, б). Из условий равновесия сразу видно, что нормальная сила в этих сечениях равна а один из моментов равен Остается только один неизвестный момент возникающий в горизонтальной плоскости.

Рис. 6.43

Рис. 6.44

Для половины рамы строим эпюры моментов от заданных сил и от единичного момента (рис. 6.43, в и г). Перемножая эпюры, находим

Тогда

Для круглого сечения Суммарная эпюра моментов дана на рис. 6.44.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление