Главная > Разное > Сопротивление материалов (Феодосьев В.И.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13.5. Устойчивость плоской формы изгиба прямолинейного стержня

Хорошо известно, что в некоторых случаях плоская форма изгиба стержня становится неустойчивой и при потере устойчивости происходит изгиб в плоскости и одновременно возникает кручение. Это наблюдается у стержней, имеющих большую жесткость в плоскости внешних сил и малую жесткость - в плоскости

Рассмотрим стержень (рис. 13.18), нагруженный на концах моментами, действующими в вертикальной плоскости. Условия закрепления на концах будем считать допускающими свободный поворот сечения при изгибе как в одной, так и в другой плоскости и в то же время запрещающими поворот при кручении. Жесткость в плоскости заданных внешних моментов предполагаем достаточно большой. Это позволяет считать, что до потери устойчивости стержень сохраняет в основном прямолинейную форму.

Представим себе, что стержень изогнулся в плоскости, перпендикулярной плоскости моментов и одновременно

закрутился. На рис. 13.18 форма изогнутого стержня показана так, что перемещение у и его первая и вторая производные положительны. Это исключает ошибку в знаках при составлении уравнений.

Рис. 13.18

В произвольном сечении, расположенном на расстоянии z от левого конца, изгибной момент относительно оси (см. рис. 13.18) равен

где — угол поворота рассматриваемого сечения относительно продольной оси. Знак минус поставлен в связи с тем, что изгибной момент направлен в сторону уменьшения кривизны. Крутящий момент в том же сечении равен

где — составляющая момента относительно оси (см. рис. 13.18); - угол поворота сечения относительно вертикальной оси.

Пользуясь известными соотношениями

получаем следующие дифференциальные уравнения:

Здесь под понимается жесткость стержня на изгиб в направлении, перпендикулярном плоскости действия внешних

моментов Величина представляет собой жесткость на кручение. Исключив из уравнений (13.30) в, получим

где

отсюда

Функция должна обращаться в нуль при Значит,

Как и для шарнирно защемленного стержня, Наименьшее, отличное от нуля значение критического момента определяется из условия

Согласно выражению (13.31), находим

Выражение (13.32) принимает вид (рис. 13.19, а):

Рис. 13.19

Воспользовавшись методом приведения длины, как это делали для сжатых стержней, можно установить, что в случае защемленных концов (рис. 13.19, 6)

Задачи об устойчивости плоской формы изгиба при нагружении стержня поперечными силами оказываются существенно более сложными, чем рассмотренная выше, поскольку изгибающий момент в плоскости нагружения меняется вдоль оси.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление