Главная > Физика > Теоретическая механика (Голубева О.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Канонические уравнения Гамильтона

Преобразование Лежандра

Ранее указывалось, что функция Н, представляющая полную механическую энергию системы, в случае стационарных связей, наложенных на голономные системы, обладающие потенциальными силами, в общем случае является обобщением этого понятия. Благодаря этому целесообразно это важное понятие ввести в явном виде в уравнения движения. Последнее автоматически выполняется, если воспользоваться операцией, известной в математике под названием преобразования Лежандра. Эта операция позволяет перейти от переменных к переменным

Заключается она в следующем: рассмотрим какую-либо функцию многих переменных, в нашем случае Дифференциал этой функции будет иметь вид:

Заметим, что

Перейдем от переменных к переменным , следовательно, от дифференциалов к дифференциалам . Введем функцию зависящую от тогда

Но , кроме того, определяется равенством:

Следовательно:

или подставляя и производя соответствующие сокращения, имеем:

где и являются функциями переменных

Приравнивая два найденных выражения для Н и учитывая, что — независимые переменные, имеем:

и

где Н, зависящая от называется функцией Гамильтона.

Канонические уравнения Гамильтона

Полученные равенства

называются каноническими уравнениями Гамильтона. Они представляют собой систему дифференциальных уравнений первого порядка, служащую для определения обобщенных координат и обобщенных импульсов как функций времени и произвольных постоянных, которые определяются из начальных условий.

Канонические уравнения применимы для голономных систем, с идеальными связями, на которые действуют силы, обладающие силовой функцией ( или М). Для составления этих уравнений нужно выписать функцию Лагранжа и определить при ее помощи обобщенные импульсы. Далее, необходимо написать функцию Гамильтона, при помощи которой и составляются канонические уравнения движения.

Характеристическая функция Гамильтона

Функция Гамильтона в канонических уравнениях играет роль, подобную функции Лагранжа в уравнениях Лагранжа второго рода. Задание функции Я равносильно постановке физической задачи или заданию механической системы в определенных условиях

движения. Таким образом, функция Гамильтона является характеристической функцией механической задачи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление