Главная > Физика > Теоретическая механика (Голубева О.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Резонанс

Движение точки под действием упругой и возмущающей силы

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки, на которую действует упругая сила и возмущающая сила, меняющаяся по гармоническому закону. Уравнение движения точки при

этом имеет вид:

или, вводя обозначения

имеем:

Используя результаты предыдущих параграфов, решение этого уравнения запишем в виде:

Заметим, что частное решение неоднородного уравнения движения рассматриваемой задачи получается из частного решения уравнения предыдущего параграфа, если в нем положить

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий.

Резонанс

Рассмотрим частный случай, когда частота собственного колебания точки равна частоте вынуждающей силы

В этом случае уравнение движения точки имеет вид:

и частное решение этого уравнения, найденное ранее, потеряет смысл, так как оно обращается в бесконечность.

В рассматриваемом случае частное решение уравнения движения будем искать в виде:

где С — постоянная, подлежащая определению. Так как

то, подставляя x в уравнение движения, имеем:

Отсюда

Следовательно, общий интеграл уравнения движения имеет вид:

где — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Задавая последние в виде: при определим через них тогда

Рассмотренное движение точки существенно отличается от ранее изученных, так как раньше функция была ограниченной, а сейчас х может при достаточно большом t стать сколь угодно большой, потому что в последнее слагаемое входит множитель t. Это явление носит название резонанса.

Резонанс возникает при совпадении частот свободных колебаний точки с частотой возмущающей силы. Так как амплитуда колебаний становится при этом сколь угодно большой, то резонанс вызывает разрушение механической системы, если при увеличении амплитуды колебаний не возникают какие-либо добавочные силы, приводящие к уменьшению амплитуды колебаний.

Заключение

Подводя итоги настоящей главы, констатируем, что прямолинейное колебательное движение материальной точки около положения равновесия вызывается упругой силой. Эти колебания затухают под действием сопротивления среды и при наличии сопротивления поддерживаются возмущающей периодической по времени силой. При частном виде возмущающей силы она вызывает неограниченно возрастающее по амплитуде колебание точки (явление резонанса).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление