Главная > Физика > Теоретическая механика (Голубева О.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Уравнения движения механических систем

Уравнения движения

Пусть механическая система состоит из свободных (на которые не наложены связи) материальных точек, массы покоя которых Пусть на каждую точку системы действуют внешние силы, результирующая которых и внутренние силы, результирующая которых

Уравнения движения этих точек могут быть записаны в виде:

Вторая группа этих уравнений может быть представлена в виде:

где — полная энергия точки в специальной теории относительности.

Закон сохранения импульса

Пусть механическая система изолирована:

и внутренние силы ее таковы, что геометрическая сумма их равна нулю:

Тогда, суммируя уравнения (30.1), будем иметь:

Откуда

Последниее соотношение представляет собой закон сохранения импульса (или количества) движения механической системы в специальной теории относительности. Иначе его можно записать в виде:

где Р — импульс системы, — импульсы отдельных точек системы.

Закон сохранения механической энергии системы

Рассмотрим по-прежнему изолированную механическую систему. Предположим, что взаимодействие между точками системы ограничивается взаимным столкновением их, носящим характер абсолютно упругого удара.

Суммируя уравнения (30.2) по и учитывая, что имеем:

где

представляет собой релятивистскую полную энергию всей системы. Так как в ньютонианской механике было показано (см. главу 18, § 3), что при абсолютно упругом ударе работа внутренних сил равна нулю, то и в случае релятивистской механики при абсолютно упругих соударениях точек системы следует считать полную энергию неизменной:

Более подробно последнее равенство запишем в виде:

Это равенство представляет собой закон сохранения релятивистской механической энергии системы.

Релятивистская масса системы и скорость центра масс

Придадим закону сохранения импульса и закону сохранения релятивистской механической энергии изолированной свободной системы несколько иной вид.

Именно, используя закон взаимной связи массы и энергии, представим в виде:

где — релятивистская масса системы. Из последнего равенства имеем:

При малых по сравнению с с (или последняя формула обращается в известную формулу ньютонианской механики, определяющую массу системы. Так как для изолированной свободной системы остается постоянной, то также постоянна. Запишем далее закон сохранения импульса изолированной системы в виде:

где

есть постоянный вектор, так как постоянен импульс системы Р и масса ее по аналогии с ньютонианской механикой следует назвать скоростью центра масс системы.

Дефект массы и энергия связи системы

Из определения релятивистской массы системы следует, что в специальной теории относительности не справедлив закон сохранения масс системы. Именно, масса всей системы не равна сумме масс покоя отдельных точек, составляющих систему Разность между массой всей системы и суммой масс покоя отдельных точек системы

называется дефектом массы. Величину называют энергией связи системы.

Самопроизвольный распад системы

Рассмотрим самопроизвольный распад системы массы на две части, имеющие массы покоя После распада эти части движутся поступательно со скоростью и взаимодействие между этими частями отсутствует. Тогда, применяя формулу, определяющую массу системы, указанную выше, запишем:

Это соотношение имеет место, если

или дефект массы положителен. Отсюда можно сделать заключение, что система может самопроизвольно распадаться, если дефект массы ее положителен. Если дефект массы системы отрицателен, то самопроизвольный распад ее невозможен и она является устойчивой. Для того чтобы осуществить распад такой системы, необходимо сообщить ей извне энергию, не меньшую которая увеличит ее массу до необходимой величины.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление