Главная > Физика > Теоретическая механика (Голубева О.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 31. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СВЯЗНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 1. Релятивистские уравнения движения точки в криволинейных координатах

Уравнения движения точки под действием сил Лоренца

Рассмотрим движение материальной точки иод действием сил Лоренца (о которых говорилось ранее). При этом уравнения движения точки в проекции на декартовы координаты будут иметь вид:

где есть функция координат точки и скорости ее

Функция Лагранжа

Введем функцию зависящую от имеющую вид:

Тогда, используя функцию уравнения движения могут быть записаны в виде:

В справедливости последних уравнений можно убедиться, если подставить в них функцию Введение функции в уравнения движения приводит их к виду уравнений Лагранжа второго рода. Следовательно, резонно назвать функцией Лагранжа или лагранжианом (как принято называть подобные функцни у физиков).

Уравнения движения точки под действием сил Лоренца и произвольных сил

Пусть на точку действует сила Лоренца и произвольная сила Тогда, используя постулат о параллелограмме сил, релятивистские уравнения движения точки могут быть записаны в виде:

Последние уравнения представляют собой уравнения Лагранжа свободной материальной точки, находящейся под действием силы Лоренца и произвольной силы. В качестве обобщенных координат в уравнении (31.4) выбраны ее декартовы координаты.

Выражение функции Лагранжа через криволинейные координаты и их производные

Перейдем от декартовых координат точки к криволинейным координатам которые связаны с декартовыми координатами соотношениями:

Отсюда проекции скорости на координатные оси могут быть записаны в в

где представляют собой обобщенные скорости. Подставляя в функцию Лагранжа вместо их выражения

через найдем выраженное через криволинейные координаты и их производные.

Уравнения движения точки в криволинейных координатах

Запишем уравнения движения точки в криволинейных координатах. Для этого, используя уравнения (31.4), умножим каждое из них соответственно на и сложим эти уравнения. В результате получим:

Используя леммы об обобщенных скоростях (см. главу 1, § 8), последнее равенство может быть записано в виде:

Так как является функцией входят только в выражения х, у, z, то последнее равенство запишем коротко в виде:

Аналогично могут быть получены равенства относительно которые запишем так:

Уравнения (31.7) представляют собой уравнения движения точки в криволинейных координатах. Отличие этих уравнений от соответствующих уравнений ньютонианской механики заключается в том, что функция Лагранжа имеет вид, отличный от функции Лагранжа ньютонианской механики.

В заключение следует отметить, что полученные в настоящем параграфе уравнения будут использованы при выводе релятивистских уравнений движения связных механических систем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление