Главная > Физика > Теоретическая механика (Голубева О.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Определение силы по заданному уравнению движения

Определение величины и направления силы

Обратимся теперь к другой задаче динамики: зная движение точки массы определить действующую на нее силу как векторную функцию времени t, радиуса-вектора и вектора скорости Ранее

было выяснено, что сила не определяет однозначно движение точки, а определяет целый класс возможных движений, зависящих от двух векторных постоянных. Определяя эти постоянные в соответствии с начальными условиями, можно найти конкретный вид уравнения движения. Естественно поставить вопрос: будет ли заданное движение однозначно определять силу, действующую на движущуюся точку. Пусть задано уравнение движения:

и нужно найти действующую на точку силу. Для этого достаточно дважды продифференцировать это уравнение по t и вычислить . Тогда будем иметь:

Полученная зависимость однозначно определяет силу. Величину и направление этой силы мы можем вычислить для каждого момента времени.

О законе изменения силы

Однако сказать что-либо о физической природе этой силы нельзя, так как не известно, зависит ли она от положения точки или от ее скорости, или от того и другого, или еще от каких-либо аргументов.

Выразив, например, t в явном виде через х из заданного уравнения получим 1 как функцию х. Подставив х в равенство найдем силу как функцию абсциссы. Таким же образом можно выразить как функцию у или Продифференцировав уравнение движения или записав

можем затем найти t как функцию или и подставить ее в выражение Таким же способом получаем силу как функцию скорости точки. Наконец, представляя функцию как комбинацию нескольких функций, что можно осуществить бесчисленным количеством способов, и, выражая в некоторых из них t через в других через , в-третьих, оставляя независимым переменным время получим, что сила зависит и от положения точки, и от ее скорости, и от времени. Если, однако, решать обратную задачу (по найденным силам найти уравнение движения), то каждому виду силы будет соответствовать свой класс движений. Классы эти различны, но каждый из них будет содержать заданное движение получающееся при подходящем выборе произвольных постоянных, определяемых начальными условиями.

Определение вида силы

Для того, чтобы иметь возможность однозначно определить как функцию необходимо задавать не частное уравнение движения, а общее, зависящее от времени и от двух произвольных векторных постоянных, например, от . В самом деле, если уравнение движения задается в виде:

где соответственно радиус-вектор и скорость точки в момент времени то

Из трех написанных уравнений можно исключить две произвольные постоянные, и прийти к зависимости

Из изложенного в настоящем параграфе следует, что задача о нахождении силы по заданному уравнению движения решается при помощи дифференциальных и алгебраических операций и поэтому не вызывает затруднений. Благодаря этому в дальнейшем основное внимание уделяется обратной задаче о нахождении движения по заданной силе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление