Главная > Физика > Теоретическая механика (Голубева О.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Уравнения движения точки, находящейся под действием центральной силы

Дифференциальные уравнения движения точки в полярной системе координат

При изучении плоских движений точки, особенно в случае» когда она находится под действием центральной силы, удобно воспользоваться полярной системой координат. В качестве полярных координат задается расстояние от полюса О и полярный угол который образован лучом с заданной полярной полуосью (рис. 67).

На основании ранее полученных результатов (см. главу 7, § 3) дифференциальные уравнения двумерных движений имеют следующий общий вид:

где

В рассматриваемом случае — единичный вектор, направленный вдоль — единичный вектор, направленный перпендикулярно Окончательно уравнения движения будут:

где — составляющие вектора силы вдоль направлений Эти составляющие в общем случае будут функциями времени t, положения точки (которое определяется полярными координатами и скорости точки которая определяется через и Эти уравнения служат либо для определения силы по заданному уравнению движения, либо для определения уравнений движения точки в конечной форме в полярных координатах (или определения как функций времени).

Рис. 67

Уравнения движения тонки, находящейся под действием центральной силы

Так как движение точки под действием центральных сил будет плоским, то для него можно воспользоваться формулами предыдущего параграфа. Для этого выберем полюс полярной системы О в точке, в которой сходятся линии действия центральных сил. Тогда проекция сил при этом знак плюс этой проекции соответствует силе, притягивающей к центру О, и минус — отталкивающей силе. Итак, для центральной силы уравнения движения имеют вид:

Из второго уравнения получаем:

или, разделяя переменные,

и интегрируя, имеем:

Отсюда

Покажем, что полученный интеграл уравнений движения является интегралом площадей в полярных координатах.

Интеграл площадей в полярных координатах

Интеграл площадей имеет вид

Преобразуем его, используя формулы предыдущего параграфа. Подставляя и имеем:

Так как то имеем

Формула Бинэ

Преобразуем первое уравнение движения, используя интеграл площадей. Левую часть первого уравнения движения можно записать в виде:

Используя интеграл площадей, последнее выражение запишем в виде:

Используя интеграл площадей имеем:

Следовательно, можно рассматривать как функцию и поэтому уравнение движения точки можно записать так:

и

Полученные уравнения представляют собой систему двух дифференциальных уравнений относительно неизвестных являющихся функциями независимого переменного Начальные условия в общем случае будут вида: при

Они определяют четыре постоянных: три постоянных интегрирования системы и постоянную площадей с.

Особый интерес представляет случай, когда не зависит явно от времени. Тогда первое уравнение движения интегрируется независимо от второго уравнения и найденная при этом зависимость от определяет траекторию точки. В этом случае обычно первое уравнение записывается несколько в ином виде. Именно вводят новую переменную

тогда уравнение движения будет вида:

Это уравнение называется формулой Бинэ. Она служит либо для определения центральной силы, не зависящей от времени, действующей на точку, если задана ее траектория в полярных координатах, либо для определения траектории, если задана сила.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление