Главная > Физика > Теоретическая механика (Голубева О.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Уравнение движения точки и ее траектория

Уравнение движения точки

Изучение движения материального объекта начнем с простейшего, именно с материальной точки.

Пусть движение материальной точки М рассматривается в прямоугольной системе координат с - правым расположением осей (рис. 18), которую условно будем называть неподвижной. Для определения положения точки М достаточно задать ее координаты. Под последними понимаются координаты той точки пространства, с которой совпадает точка М в данный момент времени t. Следовательно, координаты точки М при ее движении будут меняться со временем или:

Рис. 18

Так как последние соотношения определяют радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку М

то будет функцией времени

Соотношения (1.1) и (1.2) называются уравнениями движения точки в конечной форме, соответственно в координатном и векторном виде.

Приведенные уравнения движения описывают физический процесс движения точки; функции (1.1) и (1.2) должны быть непрерывны и однозначны, так как сколь угодно малым промежуткам времени должны соответствовать сколь угодно малые перемещения точки, и в данный момент времени точка М может находиться только в одном месте пространства. Дальше будет ясно, что эти функции должны быть дважды дифференцируемы.

Траектория точки

Годограф радиуса вектора (1.2) или геометрическое место точек в пространстве, с которыми при своем движении совпадает точка М, называется ее траекторией. Если в уравнениях (1.1) рассматривать t как параметр, то эти уравнения будут представлять собой параметрические уравнения траектории. Если исключить из них t, то можно получить, например, два уравнения вида:

представляющих собой цилиндрические поверхности с направляющими соответственно вдоль оси и оси х. Пересечение этих двух поверхностей и определяет траекторию движущейся в пространстве точки.

Характер траектории определяет и название ее движения. Именно, если траектория точки плоская кривая, то движение называется плоским; если траектория прямая, то движение точки называется прямолинейным; если траектория окружность, то движение называется круговым; если траектория любая кривая в пространстве, то движение точки называется криволинейным.

Естественная форма уравнений движений

Иногда траектория точки бывает известна заранее из физического существа задачи. В этом случае, чтобы узнать расположение точки в пространстве, достаточно задать ее положение на траектории. Для этого какую-либо точку на траектории принимают за

йачало отсчёта и положение точки М определяют расстоянием 8, отсчитываемым по дуге траектории от этой точки (рис. 19), или за» дают функцию:

За положительное направление отсчета дуги обычно принимают направление движения точки в момент, когда она занимала положение

Соотношение (1.3) называют уравнением движения точки по траектории, а указанный метод задания движения называется естественным. Функция (1.3) должна быть однозначна, непрерывна и дважды дифференцируема.

Рис. 19

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление