Главная > Физика > Теоретическая механика (Голубева О.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Момент силы относительно точки и относительно оси

Момент силы относительно точки

Изучение свойств пары сил, которая является одним из основных элементов статики, требует введения важного понятия момента силы относительно точки.

Пусть к телу в точке А приложена сила (рис. 89). Выберем любую точку пространства О (обычно в качестве этой точки выбирается начало координат) и проведем из нее радиус-вектор идущий в точку приложения этой силы.

Векторным моментом силы относительно точки О называется свободный вектор, определяемый векторным произведением на

Рис. 89

Обозначая его через имеем

Вектор по модулю равен удвоенной площади треугольника, построенного на векторах и Направлен вектор перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами так, что если смотреть с его конца на эту плоскость, то сила будет стремиться повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки. Обычно вектор считается приложенным в точке. Если сила отлична от нуля, то векторный момент равен нулю только в том случае, когда точка О лежит на линии действия силы . В системе единиц СИ размерность момента силы относительно точки равна

Из определения векторного момента следует, что он не меняется, если силу переместить по линии ее действия. Действительно, при этом плоскость, определяемая векторами не изменяет своего

расположения в пространстве, а также не изменяется и площадь треугольника, построенного на этих векторах (рис. 89).

Из указанного свойства следует, что понятие момента вектора относительно точки тесно связано с понятием скользящего вектора.

Алгебраический момент силы

Если рассматривается плоская система сил или силы, расположенные в одной плоскости, то целесообразно ввести понятие алгебраического момента силы.

Модуль векторного момента, как указано, равен удвоенной площади треугольника, построенного на векторах Если угол между векторами равен а, то

Но произведение

представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы. Величина называется плечом силы относительно точки О. Расположим в плоскости, определяемой векторами и оси координат при этом ось z будет расположена перпендикулярно этой плоскости (рис. 90). Алгебраическим моментом силы называется произведение плеча силы на модуль силы

Рис. 90

Знак алгебраического момента будет плюс, если для наблюдателя, расположенного вдоль положительного направления оси z, сила стремится повернуться вокруг точки О против часовой стрелки. В противоположном случае знак алгебраического момента будет отрицательным.

Момент силы относительно оси

С понятием момента силы относительно точки тесно связано понятие момента силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется проекция момента силы относительно произвольной точки оси на ось.

Чтобы это определение имело смысл, необходимо доказать, что проекции на ось моментов силы относительно двух произвольных точек оси равны.

Для доказательства проведем плоскость, перпендикулярную к оси (рис. 91), и спроектируем вектор на эту плоскость.

Обозначим через а угол, образуемый вектором с осью Тогда момент вектора относительно оси определяется формулой:

Отсюда, так как величина не зависит от положения точки О на оси (рис. 92), то

Формула, определяющая осевой момент, позволяет установить геометрическое правило вычисления его. Это правило заключается в следующем: провести плоскость, перпендикулярную к оси, спроектировать на нее вектор

Рис. 91

Рис. 92

Удвоенная площадь треугольника, образованного этой проекцией и точкой пересечения оси с плоскостью, определяет величину осевого момента.

Знак момента будет положительным, если для наблюдателя, расположенного вдоль положительного направления оси, проекция вектора стремится повернуться вокруг точки пересечения оси с плоскостью против часовой стрелки; если проекция стремится повернуться по часовой стрелке, то знак момента будет отрицательным.

Формулы определения моментов через проекции

В качестве точки О, относительно которой подсчитывается момент скользящего вектора, обычно выбирается начало координат. Тогда момент силы будет приложен в начале координат и проекции его на оси будут соответствующими осевыми моментами. Из определения и геометрического правила вычисления осевого момента следует, что он будет равен нулю, если вектор параллелен оси, либо линия действия его пересекает ось. Если сила задана своими проекциями и известны проекции радиуса-вектора определяющего точку приложения силы (или просто координаты этой точки), то момент вектора относительно точки О и моменты

относительно осей координат, как следует из предыдущего, определяются по формуле:

Откуда:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление