§ 4. Ускорение точки

Определение вектора ускорения

В общем случае при движении точки ее скорость изменяется с течением времени. Введем величину, характеризующую это изменение.

Пусть положение точки определяется радиусом-вектором Каждому моменту t будет соответствовать определенный вектор скорости приложенный к точке и направленный по касательной к годографу радиуса-вектора (рис. 21, а). Все векторы скорости, приложенные к точке М в разные моменты времени, изобразим на рис. 21, б. Геометрическое место концов векторов скорости будет годографом вектора скорости.

Рис. 21

Пусть в момент времени t положение точки М определяется радиусом-вектором и скорость ее будет и в момент времени положение точки определяется радиусом-вектором и скорость ее будет (рис. 21, а и б). Векторная разность

изображается хордой, стягивающей дугу годографа скорости (рис. 21, б).

Вектор определяемый равенством:

называется вектором ускорения (или просто ускорением) точки М в момент времени . Так как вектор скорости является первой производной по времени от радиуса вектора то можно написать:

т. е. вектор ускорения равен первой производной от вектора скорости и второй производной от радиуса вектора по времени.

Заметим, что правило дифференцирования применено к векторам все время приложенных соответственно к точкам М и О. Вектор характеризующий движение точки М, приложен к этой точке.

Подобно тому, как вектор скорости направлен по касательной к годографу радиуса-вектора, вектор ускорения направлен по касательной годографу вектора скорости; расположение его относительно траектории требует специальных исследований. Так как ускорение полностью определяется видом функции которая не зависит от выбора неподвижной системы координат, то и ускорение является векторной величиной, характеризующей само движение, не зависящей от выбора неподвижной системы координат.

Ортогональные проекции вектора ускорения

Обозначая проекции ускорения на оси х, у, z через запишем

откуда

Полученные формулы позволяют определить вектор ускорения, если заданы уравнения движения (1.1).

Модуль а направление вектора ускорения

Модуль вектора ускорения вычисляется по формуле:

Направляющие косинусы вектора ускорения определяются равенствами:

Размерность ускорения, как следует из формул его определяющих, равна