Главная > Физика > Теоретическая механика (Голубева О.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Постановка задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки

Система дифференциальных уравнений движения тела, вращающегося вокруг неподвижной точки

Совокупность динамических и кинематических уравнений Эйлера представляет собой систему шести дифференциальных уравнений движения первого порядка относительно

Если правые части кинематических уравнений Эйлера подставить в динамические, то система шести уравнений первого порядка сведется к системе трех уравнений второго порядка относительно углов Однако вследствие сложности получающихся уравнений это делать нецелесообразно.

Прямая и обратная задачи о движении тела вокруг неподвижной точки

Если заданы силы, действующие на тело, и ищется движение его, то в уравнениях движения моменты в общем случае являются функциями времени углов Эйлера и их производных по времени. Интегрируя уравнения движения, можно найти зависимость углов Эйлера от времени и шести произвольных постоянных, определяемых начальными условиями. Эти условия задаются положением тела в начальный момент, т. е. углами

и начальной угловой скоростью, т. е. производными углов:

Поэтому углы полученные в результате интегрирования уравнений Эйлера, будут иметь вид:

Таким образом, решается задача об определении закона движения твердого тела, имеющего неподвижную точку.

Однако при изучении движения твердого тела известный интерес представляет также и обратная задача, когда по заданному движению требуется найти силы, вызывающие это движение. В этом случае нужно известные функции подставить в кинематические уравнения Эйлера и найти После этого, пользуясь динамическими уравнениями Эйлера, найти неизвестные моменты внешних сил Таким образом, решение этой задачи сводится к алгебраическим и дифференциальным операциям.

Первые интегралы уравнений движения

Так же как во всех динамических задачах, в задаче о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку, существенную роль играют первые интегралы уравнений движения. В общем виде в рассматриваемом случае эти интегралы имеют вид:

Для интегрирования уравнений Эйлера достаточно найти шесть независимых первых интегралов этой системы. После чего определение искомых неизвестных функций сведется к решению алгебраических уравнений. Благодаря этому при определении закона движения тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, все усилия направлены на определение первых интегралов уравнений движения.

Интеграл живых сил

Если внешние силы, действующие на твердое тело, обладающее неподвижной точкой, имеют потенциал, то одним из интегралов уравнений движения будет закон сохранения механической энергии вида:

где - силовая функция, Т — кинетическая энергия. В случае вращения тела вокруг мгновенной оси Т определяется по формуле:

Так как для выбранной системы координат

и проекции вектора на главные оси будут

и

то, окончательно, можно представить в виде:

Интеграл энергии окончательно будет иметь вид:

Определение главного вектора внешних сил

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки возможно, если главный вектор внешних сил (который может включать реакции связей) будет иметь вполне определенное значение. Для определения главного вектора R воспользуемся теоремой о движении центра инерции

Зная положение центра тяжести в теле, нам будут известны его координаты в системе По известным углам Эйлера можно будет перейти от этих координат к координатам которые теперь будут функциями времени, или нам будут известны уравнения движения центра масс. Определяя далее ускорение определим, пользуясь последним равенством, и главный вектор внешних сил.

Вращение твердого тела вокруг центра масс

Если в частном случае тело вращается вокруг неподвижного центра масс, то главный вектор внешних сил будет равен нулю. Действительно, так как то из теоремы о движении центра масс Следовательно, система сил приводится к главному моменту и все движение происходит под действием пары сил, приложенных к системе, либо по инерции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление