Главная > Физика > Теоретическая механика (Голубева О.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Общий случай движения твердого тела

Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела в векторной форме

В кинематике было показано, что произвольное движение абсолютно твердого тела в каждый данный момент можно рассматривать как поступательное движение со скоростью какой-либо точки (полюса) твердого тела и вращательное движение вокруг этой точки (вокруг полюса). Выбирая в качестве полюса центр масс абсолютно твердого тела, движение его можно описать уравнением движения центра масс

и уравнением движения вокруг центра масс, как около неподвижной точки

Напомним, что в последних формулах: М — масса всего тела, — ускорение его центра масс, — кинетический момент тела относительно его центра масс, — главный вектор и главный момент внешних сил, действующих на тело.

Скалярные уравнения движения

В качестве основной системы координат выберем систему и в качестве системы, жестко связанной с телом, выберем систему имеющую начало в центре масс тела и оси , направленные

по главным осям эллипсоида инерции тела относительно точки С (рис. 130).

Проектируя векторы, входящие в уравнение (17.4), на оси запишем теорему о движении центра масс в виде.

Спроектируем векторы, входящие в соотношение (17.5), представляющее теорему о кинетическом моменте относительно центра масс, на оси . Так как теорема о кинетическом моменте относительно точки С записывается так же, как и в неподвижной системе координат, то искомые проекции будут представлять изученные ранее динамические уравнения Эйлера, которые будут иметь вид:

Рис. 130

Последние уравнения определяют движение тела относительно его центра масс. Пользуясь кинематическими уравнениями Эйлера, эти уравнения можно заменить тремя уравнениями второго порядка относительно углов Эйлера . Следовательно, задача о движении твердого тела сводится к интегрированию системы шести скалярных уравнений второго порядка относительно величин Решение этой системы в значительной мере упрощается в случае, когда уравнения (17.6) и (17.7) можно интегрировать независимо друг от друга. Это удастся сделать, например, тогда, когда внешние силы зависят только от времени.

О системах сил, действующих на твердое тело

Из приведенных уравнений движения абсолютно твердого тела следует, что главный вектор и главный момент системы внешних сил, действующих на абсолютно твердое тело (или неизменяемую систему), полностью определяют движение тела. Следовательно, любые системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и одинаковые главные моменты внешних сил, являются эквивалентными.

Так как указывалось (глава 11, § 1), что общие уравнения движения абсолютно твердого тела можно получить, не опираясь на результаты статики, в частности не используя постулат о возможности переноса сил по линии их действия, то фундаментальное положение статики об эквивалентности систем, имеющих одинаковые главные векторы и главные моменты, можно получить, не опираясь на ее результаты.

О связях, наложенных на твердое тело

Правые части уравнений (17.6) и (17.7) могут содержать не только активные силы, но и неизвестные реакции связей. В этом случае для определения новых неизвестных потребуется составление дополнительных уравнений. Такими уравнениями будут соотношения, выражающие ограничения, накладываемые на тело связями.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление