Главная > Физика > Теоретическая механика (Голубева О.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Идеальные связи (основной постулат аналитической механики)

Определение идеальной связи

Идеальными удерживающими связями называются такие связи, для которых сумма элементарных работ реакций связи на любом виртуальном перемещении равна нулю.

Обозначая реакцию связей, действующую на точку системы, через и предполагая, что число точек, составляющих систему, равно условие идеальности связей запишем в виде:

Связи без трения

Идеальные связи являются понятием абстрактным, однако истоки его лежат в реальных связях. Например, если на точки системы наложена неосвобождающая связь, осуществляемая в виде поверхности без трения (идеально гладкая поверхность), то такая

связь не препятствует перемещению точек вдоль ее поверхности. Следовательно, реакции связи будут направлены по нормали к поверхности. Так как виртуальные перемещения точек системы направлены вдоль касательных к поверхности, то в силу ортогональности будет выполняться равенство (20.6) или связь будет идеальной. Заметим, что хорошо полированные поверхности, покрытые смазочным маслом и т. д., с большой степенью точности могут быть приняты за идеально гладкие поверхности.

Связи абсолютно твердого тела

Понятие идеальных связей включает в себя не только широкий класс связей без трения, в который входят идеально гладкие поверхности и кривые, шарниры без трения и так далее, но с большой степенью точности целый ряд связей, налагаемых реально на механические системы.

Например, если связь представляет собой жесткий стержень, связывающий две точки системы, то эта связь будет идеальной. Действительно, реакции этой связи направлены по стержню в противоположные стороны и равны по величине. Проекции виртуальных скоростей на стержень, в силу теоремы Грасгофа, будут равны. Следовательно, будут равны перемещения точек, и сумма работ реакций связей на возможных перемещениях равна нулю. Отсюда непосредственно следует, что неизменяемая механическая система или абсолютно твердое тело обладают идеальными связями.

Соотношения, замыкающие уравнения движения системы

Понятие идеальных связей имеет огромное значение, так как оно позволяет получить дополнительные уравнения, которые вместе с уравнениями движения (20.3) и уравнениями связи позволяют замкнуть систему уравнений, определяющих движение механической системы.

Покажем, как принципиально могут быть получены эти дополнительных уравнения. Условие идеальных связей может быть записано в виде:

где — проекции на оси координат силы реакции

Вариации координат в последнем, соотношении не будут произвольны для несвободных систем с а геометрическими связями, они будут связаны соотношениями (20.5). Следовательно, вариаций координат можно выбирать произвольно, а остальные определить из последних соотношений.

Заменим в равенстве (20.6) все зависимые вариации координат через выбранные независимые вариации при помощи последних равенств. Тогда равенство (20.6) будет содержать а независимых вариаций координат, которые могут выбираться совершенно произвольно. В частности, можно выбрать все назависимые вариации координат, за исключением одной, равными нулю. Тогда из равенства (20.6) будет следовать, что коэффициент, стоящий при неравной нулю вариации, должен обращаться в нуль. Перебирая все независимые вариации координат и повторяя для них приведенные рассуждения, получим а искомых соотношений, связывающих проекции реакций связей и проекции векторов

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление