Главная > Обработка сигналов > Цифровые фильтры (Хемминг Р.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.3. Обзор постоянно применяемых методов расчета

После расчета одного частного фильтра вернемся, используя наши прежние результаты, к несколько более общему подходу к проектированию низкочастотного фильтра.

Во-первых, начнем с произвольной ширины полосы пропускания, она будет простираться от нуля до а полоса подавления будет — от до 1/2 (измерение ведется в циклах). Непосредственное вычисление коэффициентов Фурье (напомним, что передаточная функция является четной функцией от приводит к разложению

Когда это разложение совпадает с результатами разд. 6.2.

После усечения этого ряда до конечного числа членов (применяя к коэффициентам прямоугольное умножающее окно), получим явление Гиббса в частотной области. Сглаживание этого эффекта осуществляется прямоугольным свертывающим окном, окном Ланцоша. Следовательно, используются сигма-факторы. В разд. 6.2 было выбрано число членов а ширина окна была установлена равной ширине пульсаций в явлении Гиббса.

Рассмотрим теперь, от чего зависит ширина переходной зоны и как она влияет на число членов. Возьмем обычное прямоугольное свертывающее окно Ланцоша с шириной А и единичной площадью. Ранее было показано, что любая линейная операция над функцией равносильна умножению коэффициентов Фурье на некоторые константы: это же происходит и при применении окна Ланцоша или при свертке двух функций. Выполнив необходимые алгебраические и тригонометрические преобразования, найдем, что в соответствии с сигма-факторами, в качестве множителей соответствующих коэффициентов ряда Фурье будут выступать коэффициенты

Естественно, мы отсекаем ряд там, где эти коэффициенты становятся малыми.

Важно отметить, что этот процесс в целом можно рассматривать как первое сглаживание передаточной функции. Если мысленно представить себе свертывание прямоугольного окна (штрих-пунктирные линии на рис. 6.3.1), движущегося по исходной передаточной функции, то будет видно (если считать окно достаточно узким), что в начале получается некоторое постоянное

значение до тех пор, йока окно не приблизится к точке разрыва функции. Как только окно начнет проходить точку разрыва, сглаженное значение будет линейно уменьшаться (штриховая линия). Когда окно полностью пройдет через точку разрыва, сглаженное значение станет равным нулю.

Рис. 6.3.1. Прямоугольное окно на точке разрыва

Следовательно, можно в качестве решения исходной задачи нахождения аппроксимирующего выражения для разрывной функции, аппроксимировать функцию путем интерполяции прямой линией между двумя частями; ширина переходной зоны будет точно равна ширине используемого прямоугольного окна (см. рис. 6.3.1). Отсюда следует, что безразлично, будем ли мы брать исходную функцию и после усечения сглаживать ее сигма-факторами или вообразим прямоугольное окно, которое свертывается с исходной функцией, и затем будем подгонять результирующую сглаженную функцию — результат в обоих случаях должен быть одинаков (в обоих случаях усекается ряд Фурье).

Результаты этих двух подходов будут слегка различаться, хотя эффект получается одинаковым. Либо мы отсекаем и сглаживаем кривую, либо сглаживаем ее чтобы получить более быструю сходимость ряда, и затем ряд усекаем. Ширина окна определяет ширину переходной зоны между полосами пропускания и подавления.

Если окно используется один раз, то в передаточной функции появляется некоторая сглаженность, применяя его дважды, можно получить передаточную функцию, которая имеет непрерывную первую производную и, следовательно, лучшую сходимость результирующего ряда Фурье. При двукратном применении прямоугольного окна сигма-факторы действуют тоже дважды, т. е. мы получаем квадрат сигма-факторов. Конечно, двукратное применение окна приводит в результате к более широкой переходной зоне (см. кривые на рис. 6.2.1 и 6.2.2). Снова можно этот процесс выполнить несколькими путями. Можно, например, сначала произвести свертку окна с самим собой и затем применить результат один

Рис. 6.3.2. Треугольное окно от свертки двух прямоугольных окон

раз. Нетрудно сообразить, что свертка прямоугольного окна с самим собой даст в результате окно треугольной формы, основание которого вдвое шире исходного окна, а вершина находится в центре (рис. 6.3.2). Следовательно, треугольное окно эквивалентно двукратному применению прямоугольного окна.

«Строительные» свойства окон бесконечны. Можно начать с окон другой непрямоугольной формы. Такие окна называются «окрашенными», они в разных местах создают различное ослабление для исходной функции. Примером может служить рассмотренное выше треугольное окно. Короче говоря, можно использовать любую приемлемую функцию окна, предполагая для удобства, что она имеет единичную площадь под кривой, и с помощью свертки испытать ее действие. Тот факт, что всегда будут получаться числовые множители, которые умножаются на каждую частоту, следует из прежнего вывода о том, что любая линейная операция над частотой дает ту же частоту, но изменяет коэффициенты разложения Фурье на соответствующий мультипликативный множитель (зависящий от частоты). Для симметричных окон можно ожидать, что операции над косинусным разложением будут образовывать только косинусные члены, но если в окне будет асимметрия, то будут наблюдаться одновременно и синусные, и косинусные члены.

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление