Главная > Обработка сигналов > Цифровые фильтры (Хемминг Р.В.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.8. Эффект конечного размера выборки

Очень часто функция времени может рассматриваться как неограниченно долгий (по времени) сигнал. По необходимости приходится брать выборку конечной длины. Так например, в астрономии можно наблюдать пульсар или переменную Цефеиду только в течение конечного интервала времени. Как выражается это ограничение на исходном сигнале? Можно считать эквивалентом такого ограничения умножение сигнала во времени на прямоугольный импульс единичной высоты (который представляет собой умножающее окно), где

Этот импульс также известен как «прямоугольная функция», «стробирующая функция» и «вырезающая функция». Поэтому то, что мы видим, есть не определяемая как (см. разд. 8.5)

Преобразование Фурье в соответствии с теоремой свертки будет

где — произвольное обозначение переменной интегрирования.

Таким образом, преобразование наблюдаемого сигнала есть свертка истинного преобразования со свертывающим окном — переменная)

В случае, когда исходный сигнал представляет собою одну частоту (пик или линия в спектре), эта спектральная линия свертывается с приведенной функцией и в результате мы увидим ту же самую функцию; явление

Гиббса будет выступать в несколько новой форме. Это обычная функция с амплитудой основного лепестка и его полушириной (до первого нуля)

Если вместо одной линии имеется много линий в спектре и каждая размыта с помощью функции типа то в пределе от непрерывного спектра будет получен упомянутый выше интеграл свертки. В оптической аналогии, использованной ранее, это размывание соответствует представлению о степени разрешения — чем больше времени наблюдается сигнал, тем лучше можно различить (разделить) соседние спектральные линии. Хотя интуитивно ясно, что нечто подобное может произойти, мы показали действительную зависимость от Т, где есть длина интервала наблюдения. Таким образом, теперь можно понять, что присходит с функцией, когда от нее отрезается кусок для детального рассмотрения. Длину выборки ограничивают так, чтобы из нее можно было надеяться получить все необходимые сведения.

При наличии в спектре близко расположенных двух линий или других особенностей и в том случае, если серия наблюдения недостаточно протяженная, свертывающее окно не даст возможности отличить спектр от одной линии. Чем ближе две линии одна к другой, тем большей длины должен быть интервал наблюдения, если мы хотим эти линии различить. В некотором смысле эта ситуация подобна двум состязающимся упряжкам лошадей. Чем ближе эти упряжки по своим возможностям, тем дольше необходимо их наблюдать, чтобы решить, какая из них лучше.

Этот эффект «вырезания» сегмента из непрерывной функции, соответствующий свертыванию преобразования этой функции с

следует сравнить с прежним «вырезанием» членов из ряда Фурье в разд. 5.5, где мы получили соответствующую свертывающую функцию

и модифицированное окно

Сравнение (учитывая тот тривиальный факт, что один результат относится к переменной в частотной области, а другой — во временной) показывает взаимосвязь непрерывной модели исходного сигнала и дискретизованной модели, практически используемой при обработке данных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление