Главная > Физика > Введение в теорию относительности
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Векторы.

Рассмотрим, как преобразуются дифференциалы при общем преобразовании координат. Пусть и представляют собой два ряда недекартовых координат. Их дифференциалы связаны тогда уравнениями

Дифференциалы преобразованных координат являются линейными однородными функциями от однако коэфициенты преобразования не постоянны, а являются функциями от S. Их детерминант также не постоянен. Этими величинами мы воспользуемся для введения геометрического понятия «контравариантного вектора». Контравариантный вектор имеет компонент, преобразующихся так же, как дифференциалы координат:

Сумма и разность контравариантных векторов, а также произведение контравариантного вектора на скаляр представляют собой контравариантные векторы.

Невозможно образовать скалярное произведение только из контравариантных векторов. Чтобы найти в нашем формализме величину, соответствующую скалярному произведению, рассмотрим скалярное поле Изменение V при бесконечно малом смещении равно:

Левая часть первого соотношения, очевидно, инвариантна. Правая часть имеет вид скалярного произведения; один из множителей является контравариантным вектором второй представляет собой градиент V, т. е.

Компоненты градиента V преобразуются по закону

является линейной однородной функцией от Закон преобразования (5.53) отличается от закона преобразования контравариантного вектора. Мы назовем градиент скалярного поля ковариантным вектором. В общем случае ковариантный вектор определяют как совокупность величин, преобразующихся согласно закону

Сумма и разность ковариантных векторов и произведение ковариантного вектора на скаляр также представляют собой ковариантные векторы.

Для того чтобы различать контравариантные и ковариантные векторы, мы будем первые обозначать индексом сверху, а вторые — индексом снизу.

Коэфициеиты преобразования контра- и ковариантных векторов различны, но связаны между собой. Коэфициенты уравнения (5.51) и коэфициенты уравнения (5.54) связаны друг с другом системой из соотношений

где опять означает символ Кронекера, обозначавшийся ранее через . В силу (5.55) внутреннее (скалярное) произведение ко- и контравариантного векторов является инвариантом:

Рассмотрим случай ортогональных преобразований. Их коэфициенты преобразований удовлетворяют (5.76) и (5.10а). Производные, определяющие в общем случае переход от одних координат к другим, при ортогональном преобразовании равны

и так как (5.55) справедливо для любых преобразований, из (5.76) следует, что также

Поэтому, если ограничиться ортогональными преобразованиями, различие между контра- и ковариантными векторами исчезает.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление