Главная > Физика > Введение в теорию относительности
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Представление четырехмерных тензоров в трех плюс одном измерениях.

В предыдущей главе мы видели, что различные трехмерные величины часто являются компонентами некоторой четырехмерной величины. Например, «релятивистская масса», представляющая собой скаляр относительно ортогональных пространственных преобразований, и «релятивистский импульс», являющийся пространственным вектором, рассматриваемые совместно, представляют собой компоненты одного мирового вектора — вектора энергии-импульса.

И обратно, рассматривая лишь группу одних пространственных преобразований вместо группы общих преобразований Лорентца, мировой вектор или тензор можно разложить на несколько частей, преобразующихся независимо друг от друга. В случае чисто пространственных преобразований четырехрядная матрица коэфициентов преобразования, примет вид:

где — коэфициенты ортогонального преобразования. Контравариантный мировой вектор V преобразуется следующим образом:

Мировой тензор второго ранга подобным же образом можно разложить на трехмерный тензор, два трехмерных вектора и трехмерный скаляр:

Если мировой тензор симметричен, трехмерный тензор будет также симметричен, а оба вектора будут равны друг другу. Если тензор антисимметричен, трехмерный тензор также будет антисимметричным (и поэтому эквивалентным «аксиальному вектору»), векторы будут равны и противоположно направлены, а скаляр равен нулю. Ковариантные векторы и тензоры могут быть разложены подобным же образом.

Четырехмерные ковариантные операции и уравнения могут быть разложены таким же образом, как мировые векторы и тензоры разлагаются на трехмерные тензоры, векторы и скаляры. Обозначим две составные части мирового вектора через Дивергенция равна

Аналогично части, на которые раскладывается тензор обозначим через

Дивергенция такого тензора может быть разложена на, .

Система уравнений

тогда разложится на две системы:

Если мировой тензор антисимметричен, эти уравнения могут быть записаны так, что будут содержать только векторы. Вместо трехмерного антисимметричного тензора

можно ввести «аксиальный вектор» при помощи соотношений:

Дивергенция тензора примет тогда вид:

Согласно уравнению (5.386) она является компонентой . Для первой совокупности уравнений (7.13а) тогда имеем:

Как уже указывалось, если V антисимметричен, v равно

Последнее уравнение в (7.13а) поэтому принимает вид

Антисимметричные производные раскладываются подобным же образом. Рассмотрим ковариантный мировой вектор В, с трехмерными составляющими . Его четырехмерный ротор, может быть разложен следующим образом:

Задавая «аксиальный вектор» уравнениями,

получим:

Эти примеры показывают, как типичные четырехмерные соотношения распадаются на несколько кажущихся независимыми трехмерных векторных соотношений. Теперь можно перейти к рассмотрению уравнений поля Максвелла в четырехмерной форме.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление