Главная > Физика > Введение в теорию относительности
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Теория Зоммерфельда тонкой структуры водородных линий.

Вскоре после того как Бору и Зоммерфельду удалось объяснить спектр атома водорода с помощью квантования адиабатических инвариантов, Зоммерфельд попытался в той же механической модели учесть релятивистские поправки. Он полагал, что релятивистские поправки объяснят расщепление термов, вырожденных в нерелятивистской теории, и что таким образом он получит теорию тонкой структуры.

Его попытка в случае атома водорода увенчалась успехом, но эта теория оказалась совершенно непригодной при объяснении спектров других атомов. Теперь известно, что объяснение тонкой структуры, данное Зоммерфельдом, неверно даже для водородного атома, так как оно не принимает во внимание спин электрона и не приводит к тем результатам, которые дает строгая волново-механическая

релятивистская трактовка этой же задачи для частиц со спином 0. Однако в теории Зоммерфельда две ошибки — отсутствие строгого волново-механического подхода и пренебрежение спином — в случае водородного атома взаимно компенсируют друг друга. Поэтому эта теория, несмотря на указанные ошибки, приводит к правильному результату. Работа Зоммерфельда тем не менее интересна с исторической точки зрения, так как в ней впервые появляется «постоянная тонкой структуры» . Поэтому здесь мы вкратце рассмотрим эту теорию.

Пусть электрон движется в поле протона, который вследствие его большой массы можно считать покоящимся. Уравнениями движения будут уравнения (9.14), где Е задается следующим образом:

Интегралом этих уравнений будет интеграл энергии (9.8):

Другой интеграл, интеграл момента количества движения, получим, векторно умножая уравнение

на радиус-вектор Поскольку градиент у всегда параллелен радиусу-вектору правая часть обращается в нуль и получаем

Производная в последнем члене равна , а векторное произведение и на самого себя равно нулю. Таким образом,

мы находим, что выражение

является второй постоянной движения.

Введение полярных координат в плоскости движения приводит оба интеграла к виду

Согласно Зоммерфельду, интеграл

взятый по полному периоду в, должен быть целым, кратным h:

Чтобы сформулировать второе квантовое условие, нужно найти радиальную компоненту импульса

С помощью двух интегралов движения (9.27) можно выразить как функцию только от . Действительно, мы имеем

Сперва найдем выражение интеграла энергии, т. е. из первой формулы в (9.27):

Затем вычислим последний член в (9.30), исходя из квантовых условий (9.28). Имеем:

Подставляя выражения (9.31), (9.32) в (9.30), получим

Второе квантовое условие гласит, что интеграл

взятый по полному периоду изменения переменной должен быть также целым, кратным :

Подинтегральное выражение

отличается от аналогичного нерелятивистского выражения вторыми членами в каждой скобке, представляющими собой релятивистские поправки.

Выражение (9.35) при отрицательных значениях имеет два корня в области положительных что соответствует перигелию и афелию электронной орбиты. Интегрирование в (9.34) должно производиться от одного корня до другого и обратно с измененным знаком перед квадратным корнем в подинтегральном выражении. Оно может быть проведено либо элементарными методами, либо при помощи перехода в комплексную плоскость. В результате получаем:

где А, В и С — положительные постоянные. Подставляя их значения из уравнений (9.34), (9.35), найдем

Решая это уравнение относительно получим формулу тонкой структуры Зоммерфельда:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление