Главная > Физика > Введение в теорию относительности
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Волны де Бройля.

После Бора и Зоммерфельда следующий шаг в направлении развития строгой квантовой теории был сделан де Бройлем. Он предположил, что движение частицы вдоль траектории связано с распространением волн. Если траектория частицы замкнута, как, например, в атоме водорода, волны интерферируют между собой. Если на траектории умещается целое число длин волн, волны взаимно усиливаются. В противном случае они гасятся. Те траектории, вдоль которых волны усиливают друг друга, и являются „разрешенными" орбитами теории Бора-Зоммерфельда.

Рассмотрим свободную частицу, покоящуюся в некоторой системе координат S. Пусть ее масса покоя и энергия покоя будут соответственно равны Мы не можем связать с этой частицей распространяющуюся волну, так как нет никаких данных, благодаря которым было бы выделено определенное направление распространения. Однако частице можно сопоставить частоту в соответствии с законом Эйнштейна

так что частота покоящейся частицы будет равна

Волна де Бройля может быть представлена в виде „волновой функции

Произведем теперь преобразование Лорентца (4.13), (4.15). Энергия и импульс частицы в системе S даются выражениями:

Далее преобразуем волновую функцию Предположим, что — скаляр. В этом случае ее зависимость от координат определяется формулой:

Частота и длина волны имеют значения

Найдем скорость распространения в пространстве плоской гармонической волны де Бройля; эта скорость равна произведению частоты на длину волны:

Эта скорость, так называемая фазовая скорость, превышает с; ее произведение на равно с. Поскольку фаза волны де Бройля не может быть использована для передачи сигнала, уравнение (9.46) не противоречит основам теории относительности.

Рассмотрим, с другой стороны, волну де Бройля, не являющуюся строго гармонической, но состоящую из двух гармонических волн почти равной частоты. Амплитуда результирующей волны не будет постоянной, ее максимумы и минимумы будут двигаться в пространстве с некоторой скоростью, называемой «групповой скоростью. Определим эту групповую скорость . Запишем составляющие волны в виде

и

Результирующей волной будет

Квадратные скобки можно преобразовать с помощью соотношения

Тогда имеем

Отсюда скорость распространения амплитуды равна

или, рассматривая как дифференциалы,

В волне де Еройля у равно равно Поэтому для групповой скорости получим:

Далее, Е и связаны соотношением

согласно которому абсолютная величина вектора энергии-импульса равна энергии покоя. Из

находим, что

т. е. скорости частицы. Таким образом, групповая скорость волны де Бройля равна скорости частицы.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление