Главная > Физика > Введение в теорию колебаний и волн
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12.2. Эквивалентность ротатора осциллятору

В качестве примера ротатора рассмотрим электрон, который движется в однородном постоянном магнитном поле. При произвольных начальных условиях электрон будет двигаться по винтовой линии с осью вдоль магнитного поля. Нам сейчас интересен частный случай, когда начальная скорость электрона не имеет составляющей по полю и он вращается по окружности в плоскости, перпендикулярной полю, с циклотронной частотой . Пусть теперь магнитное поле направленное вдоль оси медленно изменяется за циклотронный период . Переменное магнитное поле индуцирует электрическое поле (формула написана в системе единиц, где скорость света — единичный вектор в направлении Уравнение движения с учетом выражений для и Е имеет вид

В проекциях на оси х и у вместо (12.18) получаем систему уравнений четвертого порядка:

В этой системе, казалось бы, должно быть два независимых адиабатических инварианта. Покажем, что в действительности эта система-ротатор эквивалентна осциллятору и имеет только один инвариант. Умножим уравнение (12.20) на и сложим его с (12.19); вводя новую комплексную переменную вместо (12.19) и (12.20) получаем одно комплексное уравнение

Сделаем теперь в (12.21) замену:

что дает Используя эти выражения в (12.21), приходим к уравнению гармонического осциллятора, собственная частота которого равна ларморовой частоте

Уравнение (12.22) отличается от (12.1), решение которого мы нашли, только тем, что теперь и — комплексная величина, но, поскольку для получаются одинаковые независимые уравнения, ни к чему новому это не приведет. Итак, Что теперь является адиабатическим инвариантом? Запишем видно, что инвариантом является величина . В чем физический смысл этого инварианта? Легко показать, что если . Последнее выполняется, т. е. изменяются во времени одинаково, поскольку уравнение (12.22) — уравнение с действительными коэффициентами. Но где — скорость поперечного вращения электрона. Таким образом, или , т. е. кинетическая энергия электрона меняется пропорционально амплитуде магнитного поля. Величина — также адиабатический инвариант, откуда

но т. е. это уже известный нам инвариант. Мы пришли к интересному выводу: энергия электрона-осциллятора в медленно изменяющемся магнитном поле может сильно изменяться. Например, электрон-осциллятор может непрерывно отдавать высокочастотную энергию полю. Такое произойдет, если квазистатическая составляющая поля будет медленно уменьшаться во времени.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление