Главная > Физика > Введение в теорию колебаний и волн
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

15.4. Бифуркации периодических движений

Мы пока познакомились лишь с одной бифуркацией периодического движения — ему соответствует рождение (при изменении параметра) предельного цикла из состояния равновесия (при обратном изменении параметра предельный цикл «влипает» в состояние равновесия и таким образом исчезает). Именно так возникает или исчезает периодический режим в генераторе Ван-дер-Поля при увеличении коэффициента обратной связи. Помимо такой бифуркации периодического режима в системах с одной степенью свободы часто встречаются две более сложные: а) рождение предельного цикла из сепаратрис седла [7] (рис. 15.10 а); эта бифуркация наиболее характерна для систем типа «нелинейный осциллятор» при их малом возмущении неконсервативными добавками [12];

б) рождение (или взаимная смерть) пары циклов — устойчивого и неустойчивого — из сгущения фазовых траекторий. Подобная бифуркация характерна, например, для автогенераторов с жестким режимом колебаний (рис. 15.10 6): в простейшем случае такие генераторы описываются уравнением вида

Перечисленные бифуркации возможны не только на фазовой плоскости, но и в фазовом пространстве более высокой размерности. Помимо этих бифуркаций в системах с размерностью пространства возможны и совершенно специфические, новые бифуркации. Основные из них — это рождение инвариантного тора из предельного цикла (рис. 15.11) и бифуркация удвоения периода. Остановимся на них подробнее. Для этого воспользуемся отображением Пуанкаре.

Рис. 15.11. Рождение устойчивого инвариантного тора

Как мы видели, бифуркации периодических движений связаны с переходом мультипликаторов через единичную окружность. Рассмотрим следующие бифуркации: а) один из мультипликаторов становится равным +1; б) один из мультипликаторов становится равным — 1; в) пара мультипликаторов принимает значение , где

Бифуркации периодических движений первого типа очень похожи на бифуркации состояний равновесия (см. рис. 15.5 а) — исчезновение двух состояний равновесия подобно слиянию и исчезновению двух циклов; на секущей они даже выглядят одинаково — роль состояний равновесия играют неподвижные точки отображения Пуанкаре (рис. 15.12).

Если один из мультипликаторов устойчивого периодического движения при изменении параметра проходит через —1 (малое возмущение за один оборот по траектории просто меняет знак), то через следующий оборот возмущенная траектория, очевидно, уже замыкается (рис. 15.13) — из периодического движения рождается устойчивое периодическое движение удвоенного периода, а исходное становится неустойчивым. Родившееся периодическое движение при изменении параметра (и снова может потерять устойчивость через бифуркацию

Рис. 15.12. К слиянию седловой и устойчивой точек на плоскости

Рис. 15.13. Бифуркация удвоения периода

удвоения периода и т. д. О таких последовательных бифуркациях мы будем говорить в гл. 22 в связи с возникновением в динамических системах хаотического поведения.

При выходе мультипликаторов периодического движения за границы единичной окружности в точках при а из периодического решения появляется (или в нем исчезает) двумерный инвариантный тор — по образному выражению А. А. Андронова «с цикла слезает шкура» (см. рис. 15.11). При этом движение из периодического становится квазипериодическим. Подобная бифуркация наблюдается в системе двух связанных автогенераторов при переходе из режима взаимной синхронизации в режим биений (см. гл. 16).

Значениям соответствуют резонансы при потере устойчивости. Такие резонансы являются двукратным вырождением (по модулю и по аргументу), и они должны исследоваться уже в пространстве двух параметров [10]: затухания вблизи периодического движения и расстройки частоты от резонанса (в данном случае расстройка — разность между аргументом мультипликатора и резонансным значением аргумента).

Бифуркации, в результате которых исчезают статические или периодические режимы, могут приводить к тому, что система выходит на так называемый «хаотический», или «стохастический», режим. Его математический образ в фазовом пространстве, называемый странным аттрактором, топологически может быть устроен по-разному, чем, в частности, определяется многообразие путей его возникновения. Соответствующие бифуркации мы обсудим в гл. 22.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление