Главная > Физика > Введение в теорию колебаний и волн
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

22.4. Статистическое описание простого генератора шума

Рассматриваемый нами генератор шума при как мы сейчас покажем, описывается невзаимнооднозначным отображением отрезка в себя. Однако оно существенно сложнее, чем, например, отображение рис. 22.7. Поэтому аналитически найти инвариантное распределение вероятностей, решая уравнения (22.9), для него не удается. Для доказательства стохастичности и определения статистических характеристик генератора шума при определенных значениях его параметров мы воспользуемся методом символической динамики [5].

Итак, построим точечное отображение, соответствующее уравнениям (22.9) при Рассмотрим преобразование точек полуплоскости

Рис. 22.11. Фазовое пространство системы, описываеомой уравнениями (22.9)

в себя (рис. 22.11). При эта полуплоскость пересекается только траекториями, лежащими на поверхности медленных движений, поэтому отображение получается одномерным — это отображение полупрямой в себя: . В случае произвольной нелинейности «переключательного» элемента (например, туннельного диода) это отображение аналитически описать не удается. Поэтому воспользуемся кусочно-линейной аппроксимацией:

В этом приближении А и В — полуплоскости, уравнения медленных движений на которых имеют вид (ср. с (22.9))

Здесь . Эти уравнения линейны, поэтому с их помощью легко получить явный вид отображения, сшивая участки траектории, лежащие на плоскостях А и В.

Отображение будет состоять из двух частей: функция описывает ту часть отображения, которая дается траекториями, не заходящими в полуплоскость В (рис. 22.12а), а функция — часть, задаваемую траекториями, располагающимися на обеих плоскостях (рис. 22.126). Из уравнений (22.11 а) сразу получаем

Рис. 22.12. Построение отображения Пуанкаре для системы уравнений (22.11): а — траектория располагается на одной поверхности медленных движений; б - траектория срывается на вторую поверхность медленных движений и возвращается обратно

Функция так просто из уравнений (22.126) не выражается. Поэтому мы аппроксимируем ее формулой, качественно правильно описывающей поведение траектории в режиме стохастических колебаний:

Таким образом, при значениях используется ветвь (22.12) отображения, при — ветвь (22.13). Степень 1/2 в (22.13) отражает то обстоятельство, что траектории подходят к линии срыва почти по касательной. Константа описывает сдвиг траекторий при движении на плоскости В. Объединяя (22.12) и (22.13), получим отображение представленное на рис. 22.13. Это отображение имеет притягивающую область — аттрактор: Если то отображение внутри аттрактора растягивающее, т. е.

Таким образом, в той области параметров, в которой система (22.9) при описывается отображением (22.12), (22.13) в ее фазовом пространстве имеется стохастический аттрактор, на котором существует инвариантное распределение вероятностей, а движение обладает свойством перемешивания.

Для доказательства стохастичности необходимо убедиться, что все движения внутри аттрактора неустойчивы. Это заведомо выполняется, если отображение растягивающее, т. е. . Однако это условие является несколько завышенным: достаточно, чтобы движения были неустойчивы не на каждой итерации, а в среднем.

Обратимся теперь к вычислению статистических свойств выходного сигнала [13]. Этот сигнал, как видно из представленных на рис. 22.10 осциллограмм, состоит из последовательности групп импульсов со случайным числом максимумов в каждой группе. С точки зрения отображения

Рис. 22.13. Отображение Пуанкаре для системы, описываемой уравнениями (22.9) при граница аттрактора

Рис. 22.14. Кусочно-линейная аппроксимация отображения, изображенного на рис. 22.13 (диаграмма Ламерея)

Пуанкаре (22.12), (22.13) число максимумов в пачке — это число итераций отображения с Аппроксимируем наше отображение кусочно-линейным отображением, как на рис. 22.14, и разобьем весь аттрактор на отрезки интересуясь теперь не точными координатами точки, а лишь номерами отрезка, в который эта точка попадает. Каждой траектории при этом будет способствовать определенная последовательность отрезков.

Для определения статистики сигнала нужно найти инвариантное распределение вероятностей, т. е. знать вероятности перехода из одного отрезка в другой. В нашем случае (рис. 22.14) их нетрудно определить: если из отрезка возможен только один определенный переход, то вероятность соответствующего перехода равна единице. Это относится к переходам, начинающимся во всех отрезках, кроме Из возможны несколько маршрутов и вероятность пока неизвестным нам образом распределяется между ними. Из физических соображений можно сделать вывод, что вероятности переходов , должны быть пропорциональными длине отрезков Используя теперь выражение для вероятностей переходов (их схема представлена на рис. 22.15)

мы можем определить вероятность того или иного числа ступенек на диаграмме Ламерея (рис. 22.14), т. е. определить вероятность числа импульсов в пачке (осциллограмма на рис. 22.10) Как видно из диаграммы, в рассматриваемом нами случае число импульсов может меняться от пяти до восьми. Если по окончании предыдущего цуга у попадает в интервал то в следующем цуге будет пять импульсов (точка пройдет по отрезкам попадет в какой-нибудь из отрезков завершится) и т. д. Поэтому вероятность того, что в цуге будет импульсов, равна условной вероятности Поскольку эта вероятность пропорциональна длине интервала можно приближенно получить

Рис. 22.15. Граф для отображения, представленного на рис. 22.14

Этот результат получен именно для ситуации, представленной на диаграмме (см. рис. 22.14). Если минимальное число импульсов в цуге равно по (а не пяти, как в рассмотренном случае), то вместо (22.15) будем иметь Построенные с помощью этой формулы распределения числа импульсов в цуге довольно хорошо описывают статистику импульсов реального генератора.

В настоящее время предложено и подробно исследовано большое число генераторов стохастических автоколебаний (см., например, [35, гл. 9]). В частности, подробно изучен теоретически и экспериментально так называемый генератор с «инерционной нелинейностью» (впервые термин был введен в в котором автоколебания возникают за счет безынерционной положительной обратной связи, приводящей к отрицательному сопротивлению, а их ограничение за счет нелинейного инерционного взаимодействия между динамическими переменными (см. книги [35, 39] и библиографию к ним).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление