Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Уровни энергии в потенциальной яме

В качестве второго примера рассмотрим потенциальную яму, представленную на рис. 26, и поставим задачу нахождения уровней энергии дискретного спектра.

Каждой энергии Е соответствуют две граничные точки а и классического движения. Они делят ось х на три области: I, II и III. Будем искать решение ВКБ, экспоненциально затухающее

в областях 1 и т. е.

(с и с — постоянные). Согласно формуле согласования (50) и аналогичной формуле, соответствующей барьеру справа, эти функции имеют следующие продолжения в область II:

Эти функции равны если

где N — целое число . Требование (54) фиксирует дискретные уровни энергии спектра. В этом случае имеем Таким образом, получаем (с точностью до произвольного постоянного множителя) выражения для соответствующей собственной функции в каждой из трех областей за исключением двух окрестностей точек а и

Рис. 26. Потенциальная яма

Условия применимости метода требуют, чтобы граничные области около точек а и где потенциал должен представляться в хорошем приближении линейной функцией х, имели размеры порядка нескольких длин волн; поэтому метод применим только для очень больших квантовых чисел

В некоторых особых случаях, например, в случае гармонического осциллятора, метод дает точные значения всех уровней

энергии, включая и основное состояние (см. задачу 6). Это еле дует считать случайным обстоятельством.

Правило квантования (54) можно рассматривать как условие стационарности волны: интервал должен содержать, «полуцелое» (т. е. целое ) число «полудлин» волн. Оно отличается от правила квантования Бора — Зоммерфельда только присутствием «полуцелых» квантовых чисел: с точностью до множителя интеграл есть интеграл действия в соответствующем классическом фазовом пространстве. Между прочим этот интеграл равен площади той части фазового пространства, где энергия меньше Е

Поэтому правила (54) можно записать в форме

Согласно формуле (55), область фазового пространства при переходе с одного уровня энергии на следующий увеличивается на Отсюда мы получаем следующий важный результат, касающийся распределения уровней энергии:

Объем области фазового пространства, соответствующей интервалу в единицах равна числу связанных состояний квантовой системы, энергия которых лежит в указанном, интервале.

Условия справедливости этого результата в действительности менее ограничительны, чем условия применимости метода практически он всегда имеет место «в пределе больших квантовых чисел». Обычно принимают (и доказывают в простейших случаях), что этот результат применим и для систем, число степеней свободы которых R превышает единицу, если только в качестве единицы измерения объема фазового пространства взять .

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление