Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА VII. ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ А. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

§ 1. Принцип суперпозиции и представление динамических состояний векторами

Изложение основ волновой механики в гл. IV и V начиналось с определения плотностей вероятности положения и импульса с помощью волновых функций , относящихся, соответственно, к пространству конфигураций и пространству импульсов. Мы уже указывали, что эти функции соответствуют эквивалентным представлениям. Параллелизм здесь может быть доведен до конца. Действительно, основные постулаты, касающиеся средних значений (§ V. 3), могут быть с тем же успехом выражены с помощью операций, производимых в импульсном пространстве. Обобщение (IV. 13) и (IV. 20) средних значений функций вида может быть проведено, исходя из соответствующих выражений (IV. 21) и (IV. 14), построенных с помощью функций Ф. Вместо постулатов а), б) из § V. 3 можно принять эквивалентные постулаты:

а) Всякой динамической переменной сопоставляется линейный оператор

б) Среднее значение, принимаемое этой динамической переменной, когда система находится в динамическом состоянии, представляемом функцией дается выражением

где скобки в правой части обозначают скалярные произведения в пространстве импульсов:

Эквивалентность постулатов а) и б) и постулатов а) и б) основана на свойствах преобразования Фурье (см.

Дополнение А). Доказательство не составляет труда и мы не будем проводить его здесь.

Если функции дают эквивалентные представления одного и того же динамического состояния, то наблюдаемые

и

дают эквивалентные представления одной и той же динамической переменной (см. гл. IV и замечание в конце § 5). Вся теория наблюдаемых может быть с равным успехом развита как в одном, так и в другом из этих представлений. Таким образом, мы получаем две вполне эквивалентные формулировки квантовой теории.

Все это становится очевидным, если принять, что волновые функции Ф и Т представляют один и тот же вектор в пространстве с бесконечным числом измерений. Тогда все понятия, введенные в гл. V: функциональное пространство, скалярное произведение, норма, ортогональность и т. д., получают простое геометрическое истолкование. Согласно этой картине значения, принимаемые функцией в каждой точке конфигурационного пространства, являются составляющими данного вектора по некоторой системе ортогональных осей координат. Аналогично значения, принимаемые функцией в каждой точке импульсного пространства, являются составляющими указанного вектора по другой системе ортогональных осей координат. Что же касается коэффициентов разложения (V. 14) функции в ряд по собственным функциям некоторой заданной полной ортонормированной системы, то они являются составляющими указанного вектора по некоторой третьей системе координат и т. д.

Таким образом, можно построить всю квантовую теорию, исходя непосредственно из понятия вектора без ссылок на конкретное представление. В качестве основного принципа теории принимается принцип суперпозиции динамических состояний, согласно которому возможные динамические состояния квантовой системы должны обладать свойством, характерным в общем случае для всяких волн, а именно, допускать линейное сложение, и поэтому могут быть представлены как векторы в некотором линейном пространстве. Следовательно, каждому динамическому состоянию сопоставляется некоторый вектор в абстрактном пространстве, а каждой динамической переменной сопоставляется линейный оператор, действующий в этом пространстве. При таком подходе теория оказывается формально

проще и элегантнее волновой механики; она к тому же имеет и более широкую область применения, так как может быть использована для изучения квантовых систем, не имеющих классических аналогов.

В изложении этой общей формулировки квантовой теории мы будем следовать Дираку, используя введенные им чрезвычайно удобные обозначения. Содержание данной главы посвящено понятиям линейной алгебры, которые составляют математический аппарат теории. Описание физических явлений с помощью этого формализма и будет предметом гл. VIII.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление