Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Скалярное произведение

По определению скалярное произведение кет-вектора на кет-вектор есть число (в общем случае комплексное) , т. е. значение принимаемое линейной функцией, ассоциированной с бра-вектором, сопряженным

Как следствие самого определения скалярное произведение является линейным по отношению к и антилинейным по отношению к Мы предполагаем, что скалярное произведение обладает всеми остальными свойствами, характерными для скалярного произведения волновых функций в волновой механике (§ V. 2), а именно:

1°. Скалярное произведение на есть величина, комплексно сопряженная скалярному произведению на :

2°. Всякий вектор и имеет вещественную неотрицательную норму

Она равна нулю в том и только в том случае, когда вектор равен нулю. Из этих свойств вытекает неравенство Шварца: какими бы ни были всегда

Равенство имеет место в том и только в том случае, когда векторы коллинеарны (т. е. пропорциональны).

Эти аксиомы должны быть дополнены предположением, что пространство кет-векторов (а также дуальное ему пространство бра-векторов) является полным и сепарабельным (см. § V. 2): это пространство Гильберта.

По определению два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Два подпространства ортогональны, если каждый из векторов одного подпространства ортогонален каждому вектору другого подпространства. Очевидно, что в этом случае подпространства не имеют ни одного общего вектора; действительно, любой вектор, принадлежащий обоим подпространствам, может быть только

равным нулю, ибо он должен быть ортогонален сам себе, а следовательно, иметь нулевую норму.

Множество векторов, ортогональных к образует подпространство ортогональное — это подпространство, дополнительное к Подпространство сводится к нулю, если подпространство совпадает с самим пространством . Можно показать, что всякий вектор пространства может быть единственным образом представлен как сумма вектора из и вектора из дополнительного подпространства:

Вектор по определению, есть проекция на подпространство Мы еще вернемся подробно к понятию проекции в разделе II.

Во всех рассуждениях, касающихся скалярного произведения, молчаливо предполагалось, что векторы (и кет, и бра) обладают конечной нормой, в противном случае аксиома о норме теряет всякий смысл. Если это действительно так, то рассматриваемое пространство кет-векторов есть пространство Гильберта. В гл. V мы видели, что векторы, способные представлять динамические состояния, действительно должны иметь конечную норму, но что рассмотрение проблемы непрерывного спектра в задачах на собственные значения требует введения собственных векторов с бесконечной нормой. Поэтому мы, должны ввести в наше пространство также и векторы с бесконечной нормой, зависящие от одного (по крайней мере) непрерывного индекса, и распространить на эту категорию векторов понятие скалярного произведения.

Мы принимаем, что имеет конечное скалярное произведение со всяким вектором с конечной нормой и что это скалярное произведение линейно по отношению к и антилинейно по отношению к Аналогично определяется скалярное произведение причем принимается, что

В противоположность этому скалярное произведение двух векторов типа может и не сходиться. В частности, норма расходится. Но мы предположим, что собственный дифференциал

обладает положительно определенной нормой, которая стремится к конечному пределу, когда Строго говоря, вектор

не входит в пространство но его собственные дифференциалы или, в более общем случае, линейные комбинации типа (2) принадлежат этому пространству и удовлетворяют всем требованиям, характеризующим векторы пространства Гильберта.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление