Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Проекторы (или операторы проектирования)

Пусть — подпространство пространства Гильберта а -его дополнение. Всякий кет-вектор обладает проекцией на подпространство и проекцией на подпространство эти два вектора и и определяются единственным образом, так что

Каждому кет-вектору соответствует, таким образом, один и только один кет-вектор Легко видеть, что это соответствие линейно. Оно определяет некоторый линейный оператор который называется оператором проектирования на подпространство 5 (или проектором на 5):

Это эрмитов оператор. Действительно, каким бы ни был

следовательно,

Очевидно, что является наблюдаемой с двумя собственными значениями 0 и 1, подпространствами которых являются, соответственно, и 5.

Кроме того, поскольку при любом ,

удовлетворяет операторному уравнению

Обратно, можно утверждать, что всякий эрмитов оператор Р, удовлетворяющий уравнению

является проектором. Подпространство 5, на которое он проектирует, является подпространством, принадлежащим его собственному значению 1.

Действительно, если есть собственное значение этого оператора, а — один из соответствующих собственных векторов

то, согласно уравнению (32),

и, поскольку кет-вектор не равен нулю, Иначе говоря, возможными собственными значениями являются только 0 и 1.

Оператор есть наблюдаемая, так как всякий вектор может быть представлен в виде суммы собственных векторов оператора Р. Действительно, можно написать

Вектор есть собственный кет-вектор оператора Р, принадлежащий собственному значению 1, так как по уравнению (32)

Вектор же есть собственный вектор, принадлежащий собственному значению 0, ибо

Нетрудно проверить, что векторы ортогональны друг другу а поэтому сумма их норм равна норме вектора Таким образом, это векторы с конечной нормой, они принадлежат пространству Гильберта.

Пусть есть подпространство собственных векторов Я, относящихся к собственному значению 1. Дополнительное к подпространство есть подпространство векторов, ортогональных векторам подпространства 5; оно образовано множеством собственных векторов , принадлежащих собственному значению 0. Согласно разложению (33), действие на произвольный вектор сводится к проектированию этого вектора на Поэтому оператор Я и называется оператором проектирования на Тогда ясно, что оператор есть оператор проектирования на

Свойство, касающееся нормы упомянутое выше, может быть переписано в виде

Если то вектор содержится целиком в

Если , то вектор содержится целиком в

Заслуживают упоминания два предельных случая. Когда подпространство совпадает с самим пространством всякий кет-вектор является своей собственной проекцией: имеем при любых подпространство пусто. Это случай

Другой крайний случай реализуется тогда, когда подпространство пусто (дополнительное подпространство совпадает с самим пространством при любом Это случай

Приведем несколько типичных примеров операторов проектирования.

Пусть кет-вектор нормирован на единицу. Он растягивает одномерное подпространство. Обозначим символом проекцию произвольного вектора на это подпространство

Согласно предположению

Умножая слева обе стороны уравнения (35) на получаем Следовательно

Таким образом, оператором проектирования на является оператор

Операторы проектирования этого типа мы будем называть элементарными проекторами.

Рассмотрим теперь последовательность ортонормированных векторов

На эти векторы натягивается некоторое подпространство (с числом измерений N) того пространства, которому принадлежат указанные векторы. Нетрудно показать, что оператор

является оператором проектирования на

До сих пор рассматривались только векторы с конечной нормой. Но как мы знаем, можно рассматривать и последовательности кет-векторов зависящих от непрерывного индекса, изменяющегося в некоторой области Предположим, что собственные дифференциалы, образованные из этих кет-векторов, имеют конечную норму и принадлежат исследуемому пространству Гильберта. Поэтому, как было выяснено ранее, любая линейная комбинация этих векторов также принадлежит пространству Гильберта, а множество линейных комбинаций образует подпространство полного пространства Гильберта; это подпространство натянуто на кет-векторы Предположим, далее, что векторы удовлетворяют условию «ортонор-мированности»

Очевидно, что оператор

есть оператор проектирования на На самом деле, вектор

получаемый при действии оператора на произвольный вектор несомненно принадлежит ибо выражается в виде линейной комбинации векторов напротив, разность ортогональна каждому вектору последовательности

и, следовательно, ортогональна

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление