Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Наблюдаемые в общем случае и обобщенное соотношение замкнутости

Эрмитов оператор А является наблюдаемой, если векторное пространство с ограниченной нормой, образованное суперпозицией собственных векторов А, совпадает с полным пространством Гильберта или, что то же самое, если оператор проектирования на равен единице.

Когда спектр полностью дискретен, оператор может быть представлен в виде разложения по элементарным ортогональным проекторам, полученным с помощью собственных векторов А, и условие того, что А есть наблюдаемая, удобно записывать в форме соотношения замкнутости (48). Распространение этого соотношения на общий случай требует введения дифференциальных проекторов — они в случае непрерывного спектра играют ту же роль, что элементарные проекторы при дискретном спектре.

Рассмотрим сначала случай, когда спектр А невырожден. Предполагаем, что спектр содержит непрерывную область, обозначаемую непрерывно изменяющимся индексом и дискретную область с дискретным индексом Таким образом, есть собственное значение из дискретной части спектра, -собственное значение из непрерывной части; есть монотонная функция принимающая все промежуточные значения в некотором интервале Обозначим с помощью собственные кет-векторы, принадлежащие собственным значениям . Эти кет-векторы ортонормированы, в частности

Оператор

является оператором проектирования на подпространство, натянутое на кет-векторы из интервала Складывая проекторы этого типа, образуем проектор

который проектирует на подпространство натянутое на собственные кет-векторы, принадлежащие непрерывному спектру. Это подпространство ортогонально подпространству натянутому на собственные кет-векторы дискретного спектра, причем проектор на это подпространство равен

Условие того, что А есть наблюдаемая, записывается в виде

или подробнее

Выполнение соотношения замкнутости (53) является необходимым и достаточным условием того, что множество ортонормиро-ванных векторов образует полную систему.

Распространение этого результата на случай, когда весь спектр или часть спектра А оказываются вырожденными, не вызывает трудностей. Возьмем в качестве примера случай, рассмотренный в конце § 9. Собственные кет-векторы удовлетворяют условиям ортонормированности (30). Если кроме того А есть наблюдаемая, т. е. собственные кет-векторы этого оператора составляют полную систему, то они удовлетворяют условию замкнутости

Как и в случае полностью дискретного спектра удобно использовать соотношение замкнутости при разложении произвольного вектора пространства Гильберта в ряд по базисным кет-векторам наблюдаемой А. Для сокращения записи примем, что спектр А невырожден (соотношение (53)). Тогда

Аналогично находим обобщенное равенство Парсеваля

и разложение А в ряд по проекторам

В заключение укажем, что часто бывает удобно заменить условие ортонормированности собственных векторов непрерывного спектра на более общее условие

где — вещественная положительная функция Это эквивалентно умножению каждого вектора на постоянную с модулем В этом случае все предшествующее остается справедливым, но только во всех формулах следует заменить на Аналогично, если условие нормировки (30в) заменить на

то выражение для в соотношении замкнутости (54) получается путем деления подынтегрального выражения на .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление