Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Раздел III. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

§ 16. Общее понятие о конечных матрицах

По определению матрица А типа есть совокупность элементов которые обычно располагают в виде прямоугольной таблицы с М строками и N столбцами

есть элемент матрицы, расположенный на пересечения строки и столбца.

Если то мы имеем квадратную матрицу, число ее строк и столбцов дает число измерений, или порядок матрицы. Если одно из двух целых чисел М или N равно 1, то элементы матрицы могут рассматриваться как компоненты вектора. Мы будем называть правым вектором матрицу с одним столбцом размерности вектора, и левым вектором — матрицу с одной строкой размерности вектора). Тогда скаляр есть матрица с

Из матрицы А типа можно получить новые матрицы с помощью некоторых операций сопряжения, именно:

а) комплексно сопряженную матрицу А — это матрица типа элементы которой суть величины, комплексно сопряженные элементам матрицы

б) транспонированную матрицу А — это матрица типа получаемая перестановкой строк и столбцов:

в) эрмитово сопряженную матрицу это матрица типа получаемая применением обеих указанных выше операции:

Комплексно сопряженный правый вектор есть правый вектор. Транспонированный правый вектор и эрмитово сопряженный правый вектор суть левые векторы и наоборот. Комплексно сопряженная, транспонированная и эрмитово сопряженная квадратные матрицы порядка N суть квадратные матрицы порядка

Определяют следующие операции матричной алгебры:

а) умножение матрицы А на постоянную с; произведение с А есть матрица того же типа, что и А:

б) сумма двух матриц одного типа; 5 есть матрица того же типа, что А и В:

в) произведение (справа) матрицы В типа на матрицу А типа причем число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В: Это матрица типа элементы которой даются формулой

Имеют место следующие равенства

Отметим изменение порядка сомножителей в правых частях двух последних равенств.

Умножение слева N-мерного левого вектора на -мерный правый вектор дает скаляр. Умножение слева -мерного правого вектора на -мерный левый вектор дает квадратную матрицу порядка

Другой важной операцией является тензорное произведение двух матриц. С помощью матрицы типа и матрицы типа можно образовать матрицу типа строк этой матрицы обозначаются двумя индексами столбцов матрицы обозначаются двумя индексами При этом

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление