Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 20. Преобразования матриц

Рассмотрим вновь матрицы конечного порядка. Будем обозначать прописной буквой квадратные матрицы порядка а строчной буквой — -мерные векторы (правые и левые). Пусть Т — несингулярная матрица существует). Эта матрица

позволяет определить преобразование подобия матрицы А по формуле

Соответствие между А и А взаимооднозначно; матрица А получается из А в результате обратного преобразования

Такое преобразование сохраняет след (шпур) и детерминант матрицы

(это следует непосредственно из указанных выше свойств шпура и детерминанта произведения матриц). Равным образом очевидно, что такое преобразование сохраняет всякое алгебраическое соотношение между матрицами. Если, например, мы имеем

то умножая почленно слева на Т и справа на и вставляя там, где это нужно, произведение , получим

т. е.

Аналогично можно определить преобразование правого вектора и

и левого вектора

Нетрудно проверить, что указанное преобразование в самом общем случае сохраняет все алгебраические уравнения, в которые входят квадратные матрицы и векторы обоих типов. Заметим также, что если с — произвольная постоянная, то квадратная матрица преобразуется с помощью Т и одинаково; правый вектор при этом умножается на с, а левый — на

В то же время это преобразование в общем случае не сохраняет соотношений сопряженности между матрицами (задача 5). Посмотрим, например, какому условию должна удовлетворять матрица Т, чтобы преобразование сохраняло эрмитовую сопряженность. Чтобы из следовало

какой бы ни была матрица А, необходимо, чтобы

или, если умножить равенство слева на и справа на Т,

Необходимо, следовательно, чтобы матрица коммутировала со всеми матрицами А, т. е. чтобы она была единичной с точностью до постоянного множителя

Далее, для того чтобы из и следовало при любом и необходимо, чтобы при любом , т. е. Это значит, что матрица Т должна быть унитарной. Очевидно, что это условие, необходимое для сохранения условия эрмитовой сопряженности, является также и достаточным.

Преобразование, матрица которого является унитарной, называется унитарным преобразованием. Поскольку в этом случае преобразования матрицы А, правого вектора и и левого вектора выражаются формулами:

Как и всякое преобразование подобия, унитарное преобразование сохраняет след и детерминант матриц и все алгебраические уравнения между матрицами и векторами. Но, кроме этого, оно сохраняет и эрмитово сопряжение.

Далее, имеют место две следующие фундаментальные теоремы, которые мы приведем без доказательства.

А) Всякая эрмитова матрица Н может быть приведена к диагональному виду с помощью унитарного преобразования

Диагональные элементы Н суть «собственные значения» Я. Все они вещественны (Н — эрмитова матрица) и являются решениями секулярного уравнения

Б) Чтобы две эрмитовы матрицы могли быть одновременно приведены к диагональному виду с помощью одного унитарного преобразования необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали.

Все эти определения и свойства, относящиеся к матрицам конечного порядка, без труда распространяются на случай бесконечных матриц. Всякая бесконечная матрица Т, обладающая обратной матрицей определяет преобразование подобия

квадратных матриц и векторов (правых и левых) при выполнении условий сходимости соответствующих сумм и интегралов. Б противоположность случаю конечных матриц нет необходимости, чтобы была обязательно квадратной матрицей. Конечно, строки и столбцы матрицы (квадратной), подвергающейся преобразованию, должны нумероваться той же системой индексов что и столбцы Т, а также компоненты правых и левых векторов. Но строки и столбцы преобразованной матрицы и компоненты преобразованных векторов нумеруются той системой индексов, которой нумеруются строки Т.

Свойства сохранения следа (при условии его сходимости), алгебраических уравнений и эрмитового сопряжения (для унитарных матриц преобразования) справедливы и для бесконечных матриц. Что же касается фундаментальных теорем о диагонализации эрмитовых матриц унитарным преобразованием, то они не справедливы для всех эрмитовых матриц, но мы будем предполагать, что они выполняются в рассматриваемых нами случаях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление