Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Раздел I. ДИНАМИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 2. Определение вероятностей. Постулаты измерения

Каждому динамическому состоянию соответствует некоторое статистическое распределение значений каждой из динамических переменных, характеризующих систему. Вычисление распределений основано на постулате:

Среднее значение некоторой функции от заданной физической величины А дается выражением

где кет-вектор представляет динамическое состояние, а наблюдаемая А — заданную физическую величину.

В частности, характеристическая функция статистического распределения А есть среднее значение функции

Поскольку статистическое распределение полностью определяется заданием характеристической функции, указанный постулат позволяет вычислить статистические распределения всех динамических переменных системы.

Выясним, как основной постулат влияет на соответствие между динамическими состояниями и кет-векторами. Каким бы ни был оператор выражение (1) не меняется при умножении вектора на произвольный фазовый множитель — некоторое вещественное число). Следовательно, статистические распределения, относящиеся к двум векторам, различающимся на фазовый множитель, строго одинаковы: два таких вектора представляют одно динамическое состояние. Другими словами, каждому динамическому состоянию соответствует вектор, определенный с точностью до фазового множителя. С другой стороны, поскольку (среднее значение 1 равно 1), необходимо, чтобы вектор был нормирован на единицу

Часто бывает удобно отказаться от последнего условия. С этой целью определение (1) для средних значений заменяют более общим выражением

При таком определении два пропорциональные друг другу вектора представляют одно и то же динамическое состояние (подразумевается, конечно, что векторы, о которых идет речь, имеют ограниченную норму).

Чтобы получить статистическое распределение А в явном виде, следует вычислить выражение (2) для характеристической функции (или выражение (4), если не нормирован на единицу) в представлении, где наблюдаемая А диагональна. Этот метод уже был изложен в гл. V, правда, с незначительными отличиями в терминологии. Здесь мы не будем вновь повторять сказанное там. Ограничимся формулировкой результатов:

1) Значения, которые может принимать величина А, принадлежат спектру собственных значений соответствующей наблюдаемой.

2) Пусть есть подпространство, натянутое на собственные векторы А, принадлежащие собственным значениям, лежащим в некоторой области спектра обозначим с помощью проекцию кет-вектора на Вероятность результат измерения принадлежит равна

Выражение (5) объединяет все результаты, полученные в частных случаях, рассмотренных в гл. V (задача 1). Действительно, может быть одним собственным значением дискретного спектра и тогда (5) совпадает с формулой (V. 21). Но может быть также образована совокупностью нескольких различных дискретных собственных значений или быть частью непрерывного спектра, или же некоторой комбинацией двух предшествующих случаев. В частности, если есть бесконечно малый интервал непрерывного спектра, как в примере в конце § V. 10, то и плотность вероятности вычисленная с помощью формулы (5), совпадает с той, которая получилась из (V. 44).

Остается определить динамическое состояние системы по окончании измерения. Оно, конечно, будет зависеть от конкретных условий эксперимента, но может быть просто получено в случае идеального измерения (см. § V. 13). Если в предположении идеального измерения наблюдение показывает, что система находится в собственном состоянии А, принадлежащем указанной выше области то динамическое состояние системы после измерения представляется проекцией вектора на пространство Иными словами, изменение (некаузальное)

вектора состояния в процессе измерения соответствует схеме:

Этот постулат редукции волнового пакета может рассматриваться как определение идеального измерения.

Если условиться всегда представлять динамические состояния векторами, нормированными на единицу, то вектор состояния системы после измерения есть умноженный на фактор нормировки, определяемый с точностью до фазы, квадрат модуля которого равен или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление