Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Соотношения неопределенности Гейзенберга

Соотношения неопределенности для координаты и импульса следуют непосредственно из соотношений коммутации (7).

Покажем в самом общем случае, что если две наблюдаемые А, В удовлетворяют уравнению

то произведение их средних квадратичных отклонений всегда удовлетворяет неравенству

Доказательство по существу аналогично рассмотрению § IV. 8,

По определению

Введем наблюдаемые

тогда очевидно, что

и что

Допустим, что динамическое состояние системы представляется кет-вектором , нормированным на единицу, и применим неравенство Шварца к векторам

Выделяя в эрмитову и антиэрмитову части (ср. уравнение (VII. 29))

можно выделить в вещественную и мнимую части

и переписать неравенство Шварца в виде т. е.

т. е.

что и требовалось доказать.

Чтобы произведение стало равным своему наименьшему значению необходимо с одной стороны, чтобы неравенство Шварца свелось к равенству, т. е. чтобы (с — произвольная постоянная), а с другой стороны, чтобы среднее значение было равно нулю, т. е.

откуда Резюмируя, находим, что неравенство (9) сводится к равенству в том и только в том случае, когда удовлетворяет уравнению

где суть произвольные вещественные постоянные.

Приложение этого результата к паре координата — импульс предшествующего параграфа дает соотношение неопределенности

причем равенство выполняется, если есть решение уравнения

( — произвольные вещественные постоянные).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление