Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18. Пример: движение свободного волнового пакета

В качестве приложения вышеприведенных результатов изучим движение свободного волнового пакета

Пусть есть вектор состояния в момент времени и -волновые функции, выражающие этот вектор в представлениях соответственно. В момент времени динамическое состояние системы дается вектором

где есть гамильтониан свободной частицы. Поскольку импульс является постоянной движения, его среднее значение остается неизменным во времени; то же самое верно относительно групповой скорости

Мы знаем, что расплыванием пакета можно пренебречь при достаточно малых промежутках времени (§ VI. 3). Уточним здесь этот результат и покажем, что при выполнении условий слабого расплывания волновой пакет распространяется практически без искажений и может быть в очень хорошем приближении описан функцией

Эта приближенная волновая функция представляет вектор

в чем нетрудно убедиться, используя и обобщая свойство (16) или исследуя соответствующую волновую функцию в представлении Приближение тем лучше, чем ближе к единице вероятность для системы находится в состоянии иными словами, необходимо, чтобы

Заменяя выражениями, приведенными выше, находим

Матричный элемент в правой части просто вычислить в представлении получаем

Если предположить, что мы имеем дело с волновым пакетом типа приведенного на рис. 17, то функция имеет острый максимум линейных размеров около среднего значения есть модуль вектора дающего среднее квадратичное отклонение импульса частицы . В этом предположении экспонента в правой части равенства близка к единице в области максимума, т. е. при

или

Приближение справедливо, пока выполнено это условие. Но это неравенство выражает условие;

которое мы уже получили при изучении расплывания волнового пакета в § VI. 3 (условие (VI. 15)).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление