Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 25. Классическая статистика и квантовая статистика

В классической механике динамическое состояние определяется точкой в фазовом пространстве; статистическая смесь состояний представляется некоторым «флюидом» в фазовом пространстве, плотность которого в точке равна вероятности найти систему в состоянии, определяемом этой точкой.

Существует замечательный параллелизм между плотностью в фазовом пространстве и оператором матрицы плотности квантовой теории. Плотность является вещественной положительной величиной, причем интеграл от нее по всему фазовому пространству равен единице

с другой стороны, есть эрмитов оператор с положительными собственными значениями (положительно определенный оператор), след которого равен 1.

Зная в некоторый момент времени, можно получить среднее значение любой функции динамических переменных интегрируя по всему фазовому пространству

Эволюция во времени дается уравнением

(это уравнение не следует смешивать с уравнением (42)).

Уравнения (78) и (79) являются классическими аналогами уравнений (65) и (68) соответственно. Мы переходим от выражений классической теории к выражениям теории квантовой, заменяя обычные величины наблюдаемыми, скобки Пуассона — коммутаторами (с учетом множителя ), а интегрирование по всему фазовому пространству заменяется операцией вычисления следа оператора.

Эта новая формулировка принципа соответствия оказывается чрезвычайно полезной при распространении на квантовую область основных результатов классической статистической термодинамики. Большинство классических выводов могут быть воспроизведены без изменения. Ограничимся тем, что укажем основные результаты.

Состояние квантовой системы в термодинамическом равновесии при температуре Т представляется оператором

где Н — гамильтониан системы, — постоянная Больцмана. Постоянная нормировки определяется из условия Различные термодинамические функции системы вычисляются, как и в классической теории, с помощью статистической суммы

Так, для свободной энергии энтропии 5 и энергии Е получаем следующие выражения, записанные для

Энтропия системы согласно принципу соответствия, вообще говоря, равна среднему значению оператора это значит

Равновесное распределение (80) получается без труда: это распределение, соответствующее заданному среднему значению энергии, для которого энтропия имеет максимальное значение.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление