Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Отделение угловых переменных. Сферические функции

Из выражений (11) и (12) видно, что операторы коммутируют. Это можно было предвидеть: поскольку Н коммутирует с , он коммутирует и с любой функцией от этих операторов и, в частности, с . Наблюдаемые имеют (по крайней мере одну) общую базисную систему. Поэтому решение проблемы собственных значений Я следует проводить в два этапа: решить проблему собственных значений , а затем

искать собственные функции оператора , удовлетворяющие уравнению Шредингера. Конкретная форма потенциала будет играть роль только на втором этапе вычислений.

При нахождении полной системы собственных функций оператора переменная является параметром и может быть временно опущена, так как оператор действует только на угловые переменные 0 и

Оператор коммутирует с каждой компонентой момента импульса (см. уравнение (V. 70)), в частности, он коммутирует с . В теории специальных функций показывается, что общими собственными функциями операторов и определенных выражениями (12) и (3), являются сферические функции Основные свойства этих функций даны в Дополнении Б (§ 10). Их построение будет подробно обсуждаться при систематическом изучении момента импульса в квантовой механике (гл. XIII). Различные сферические функции отмечаются индексами причем I может принимать все целые положительные значения и нуль, все целые значения от до Имеем:

В пространстве квадратично интегрируемых функций от 0 и Ф, т. е. в пространстве квадратично интегрируемых функций, определенных на сфере радиуса 1, сферические функции образуют полную ортонормированную систему. Следует учитывать, что скалярное произведение определяется в этом случае как интеграл по сфере единичного радиуса, причем элемент поверхности выражается формулой

Соотношения ортонормированиости записываются в виде

Каждой паре квантовых чисел соответствует одна сферическая функция. Требуя, чтобы функция была общей собственной функцией операторов , принадлежащей собственным значениям соответственно, мы определяем ее угловую зависимость: функция имеет форму .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление